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En esta sección encontrarás el contenido necesario para repasar la teoría de la distribución binomial y practicar con ejercicios tradicionales e interactivos. La variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta. Representa el número de aprobados entre n pruebas elementales siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
Para cada prueba, son posibles dos tipos de resultados:
- A (éxito) y A* (fracaso)
- La probabilidad de éxito (π) es la misma en cada prueba: probabilidad constante de éxito π (probabilidad de fracaso=1-π)
- Se repite la prueba elemental un número fijo n
Distribución binomial
Una distribución binomial, en estadística, es una distribución de probabilidad discreta (función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra) que describe el número de éxitos al realizar n experimentos o ensayos de Bernoulli independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. ¿Te parece demasiado complicado? ¡Vamos a ver un ejemplo para que lo entiendas mejor!
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por tener solo dos resultados. Uno de ellos se denomina «éxito» y al otro, «fracaso». Por ejemplo, imagínate el lanzamiento de una moneda cuyo resultado de «sacar cara» es el éxito. Si lanzamos 5 veces la moneda y contamos los éxitos que obtenemos, nuestra distribución de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.
De este modo, en otras palabras, la distribución binomial se define como una serie de experimentos o ensayos en los que solo podemos tener 2 posibles resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito la variable aleatoria.
Por ejemplo, al lanzar un dado, la posibilidad de que el resultado sea par o impar será exactamente la misma: el 50 %. Y por muchas veces que lo lancemos, la probabilidad, en cada una de esas veces, seguirá siendo el 50 %. Igual que en el ejemplo de la moneda.
En la distribución binomial hay tres variables:
- n es el número de veces que repetimos el experimento.
- p es uno de los dos resultados al que llamaremos éxito.
- q es el otro resultado posible al que llamaremos fracaso.
La probabilidad de cada posibilidad no puede ser más grande que 1 y no puede ser negativa. Por eso, como p y q son los dos únicos resultados posibles, entre los dos su porcentaje debe sumar uno, por lo que p =1- q.
Propiedades de la distribución binomial
Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades:
- Como hemos dicho, en cada ensayo, experimento o prueba solo puede haber dos posibles resultados (éxito o fracaso).
- La probabilidad de éxito ha de ser constante. Por ejemplo, la probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado es 0,5 y esta es constante dado que el dado no cambia en cada ensayo y las probabilidades de sacar par es constate.
- La probabilidad de fracaso ha de ser también constate.
- Cada experimento es independiente de los demás y no influye en las probabilidades de los que hagamos posteriormente, por lo que en cada uno la probabilidad de que se dé uno de los dos resultados será exactamente la misma.
- Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo. Al lanzar un dado, no puede salir par e impar a la vez, ni al lanzar una moneda puede salir cara y cruz al mismo tiempo.
- Los resultados son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no sale par, sale impar, y si no sale cara, sale cruz.
- La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar así: X ~ (n, p), donde, como ya sabes, n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito.
Formula de la distribución binomial
La fórmula para calcular la distribución normal es la siguiente:
Donde:
- n = número de ensayos
- x = número de éxitos
- p = probabilidad de éxito
- q = probabilidad de fracaso (1-p)
Debes tener en cuenta que lo que está entre corchetes es un resultado de una combinatoria sin repetición, el cual se obtiene con la siguiente formula:
El signo de exclamación representa el símbolo de factorial, es decir el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo: 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
Ejemplos de distribución binomial
Vamos a imaginar que un 80 % de las personas de todo el mundo vieron las Olimpiadas 2016 en Río de Janeiro. Una vez finalizadas, 4 amigos se reúnen para charlar. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos las hayan visto?
Lo primero que hay que hacer es definir las variables del experimento:
- n = 4 (el total de la muestra)
- x = número de éxitos (en este caso es igual a 3, ya que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos las hayan visto)
- p = probabilidad de éxito (0,8)
- q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p.
Tras definir todas las variables, solo tenemos que sustituirlas en la fórmula:
El numerador del factorial se obtiene entonces multiplicando 4 · 3 · 2 · 1 = 24, mientras que en el denominador tendríamos que multiplicar 3 · 2 · 1 · 1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4.
Fuera del corchete, hay dos números. El primero sería 0,83=0,512 y el segundo es 0,2 (porque 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).
Por tanto, el resultado final sería: 4 · 0,512 · 0,2 = 0,4096.
Si lo multiplicamos por 100, tenemos como resultado que hay una probabilidad del 40,96 % de que 3 de los 4 amigos hayan visto las Olimpiadas de Brasil.
Otro ejemplo: vamos a suponer que queremos coger un taxi, vamos a calcular la probabilidad de que el próximo taxi que pase esté libre u ocupado.
Definimos las variables del experimento. Vamos a asignar a la probabilidad de éxito (p), es decir, de que esté libre un 40 % (es decir: 0,4). Por tanto, la probabilidad de fracaso (q), es decir, de que esté ocupado, será 1-p, es decir, 1-0,4=0,6 o, lo que es lo mismo, el 60 %.
Vamos a calcular la probabilidad de que de 5 taxis, 2 estén libres.
El numerador del factorial se obtiene entonces multiplicando 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120, mientras que en el denominador tendríamos que multiplicar 2 · 1 · 3 · 2 · 1 = 12. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 120/12=10.
Fuera del corchete, tendríamos 0,42=0,16 y 0,63=0,002.
Por tanto, el resultado final sería: 10 · 0,16 · 0,002 = 0,0064.
Si lo multiplicamos por 100, tenemos como resultado que hay una probabilidad del 0,64 % de que 2 de los 5 taxis estén libres.
¿Lo tienes claro? ¿Por qué no practicas para acostumbrarte a la fórmula y que no se te escape nada?