Bienvenidos a nuestra página dedicada a los Ejercicios y Aplicaciones de la Distribución Binomial. La distribución binomial es una herramienta fundamental en la teoría de la probabilidad y se utiliza para modelar eventos que pueden tener dos resultados posibles, como éxito o fracaso, sí o no. En esta guía, les guiaremos a través de una serie de ejercicios y aplicaciones que exploran esta distribución y su relevancia en diversos contextos.

La distribución binomial se caracteriza por la probabilidad de éxito en cada ensayo, el número total de ensayos y el interés en contar cuántos éxitos ocurren en una serie de ensayos independientes. A lo largo de esta guía, aprenderemos a aplicar la distribución binomial para calcular probabilidades de eventos, como el número de éxitos en un número determinado de ensayos o la probabilidad de que ocurra un evento específico en un cierto número de repeticiones.

 

1 Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

 

Al lanzar una moneda la probabilidad de que salga cara es y de que salga cruz es . En este caso, el experimento de lanzar se realizará cuatro veces, así, . Por lo tanto, tenemos la distribución binomial con los siguientes parámetros:

Ahora, como deseamos conocer la probabilidad de que salgan más caras que cruces, los eventos donde esto ocurre es cuando, o salen tres caras y una cruz, o salen cuatro caras y cero cruces, por lo que,

 

 

2 Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva años o más es . Hállese la probabilidad de que, transcurridos años, vivan:

aLas cinco personas.

bAl menos tres personas.

cExactamente dos personas.

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial con los siguientes parámetros:

 

aLas cinco personas.

bAl menos tres personas.

 

cExactamente dos personas.

 

 

3 Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial con los siguientes parámetros:

Calculemos la probabilidad deque cuando se marquen números de teléfono sólo comuniquen dos.

 

 

4 La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es . Si dispara veces.

a ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

b¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial con los siguientes parámetros:

a ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

b¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

 

 

5 En una urna hay bolas, rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, veces. Calcular la media y la desviación típica

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial con los siguientes parámetros:

Media:

Desviación típica:

 

 

6 En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección

aDeterminar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

bDetermine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

Definamos los siguientes eventos:
A: Los conductores dan positivo a la prueba de alcoholemia.
B: Los conductores no llevan puesto el cinturón de seguridad.
Luego, la probabilidad de que el conductor de positivo a la prueba o de que no lleve su cinturón de seguridad o de que ambos eventos ocurran, conociendo que las infracciones son independientes es:

Ahora, tomemos en cuenta la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

 

aDeterminar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

bDetermine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

 

 

7 Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de de cada pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

aNingún paciente tenga efectos secundarios.

bAl menos dos tengan efectos secundarios.

c¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige pacientes al azar?

 

Tomemos en cuenta la distribución binomial B(n,p) con los siguientes parámetros:

 

aNingún paciente tenga efectos secundarios.

bAl menos dos tengan efectos secundarios.

 

c¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
Media:

 

 

8 Un equipo de béisbol con un promedio de bateo del 0.300 (30% de éxito) realiza 10 ensayos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que anoten al menos 5 carreras en cada uno de esos ensayos?

 

La probabilidad de que ocurran al menos 5 veces está dado por

Entonces, calculamos cada una de estas probabilidades utilizando la distribución binomial con y .

Es decir, . Ahora, podemos concluir el resultado:

 

 

9 Supongamos que tienes una moneda y quieres calcular cuántos lanzamientos necesitas para que la probabilidad de obtener al menos 3 caras sea igual o mayor al 90%. Sabes que la probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento es del 50% (0.5).

a¿Cuántos lanzamientos de la moneda se necesitan para tener al menos un 90% de probabilidad de obtener al menos 3 caras?

b ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 3 caras en ese número de lanzamientos?

 

a

Queremos encontrar un número que nos permita tener . Para obtener tal número, debemos calcular la probabilidad de cada uno de estos escenarios con al menos 3 lanzamientos, hasta encontrar uno que satisfaga la condición. Primero, podemos escribir la función de distribución con el que buscamos:

Entonces, sustituyendo a (el número de ensayos) con valores enteros mayores a 3 y calculando el resultado, conseguimos los siguientes valores:

Entonces, necesitamos al menos 9 ensayos para que nuestro experimento tenga un mínimo de 3 caras.

b
 

Calculado de la misma manera que en inciso anterior, tenemos que la probabilidad de obtener 3 caras en 9 ensayos tiene una probabilidad de

 

10 En un concurso de preguntas de opción múltiple, cada pregunta tiene 5 opciones de respuesta y solo una es correcta. Un estudiante decide responder al azar a todas las preguntas del concurso, que consta de 20 preguntas.

a ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda correctamente exactamente 9 preguntas?

b Calcula la media y la varianza.

 

a

Teniendo 5 opciones en cada pregunta, tenemos una probabilidad de 0.2 de acertar si elegimos al azar. Entonces, la probabilidad de obtener exactamente 9 aciertos es dada por

b
 

Recordemos que la media es dada por

donde son el número de ensayos y la probabilidad del evento, respectivamente. La varianza es dada por

Es decir, en promedio, un estudiante que conteste 20 preguntas al azar, obtendrá 4 aciertos.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗