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Vamos

El Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes es uno de los resultados más conocidos y útiles en el área de la probabilidad y estadística, y en particular en el estudio de la probabilidad condicional. Básicamente, el Teorema de Bayes nos dice cómo calcular la probabilidad de un suceso teniendo información a priori sobre dicho suceso.

Este teorema es una herramienta altamente usada por su simpleza y su rápida aplicación en distintas áreas del conocimiento, por ejemplo en medicina, biología, tecnología, negocios, o en cualquier área en la que se necesite tener una certeza sobre algún suceso dada información de antemano. Además, es común utilizar dicha herramienta consecutivamente para obtener una mayor certeza si el problema así lo requiere.

A continuación enunciaremos dicho teorema y resolveremos algunos ejercicios para ilustrar mejor este importante resultado.

Teorema de Bayes: Sean eventos mutuamente excluyentes y cuya unión es el espacio muestral , esto es,

Si es otro evento, entonces

donde representa la probabilidad del evento denominada probabilidad a priori, representa la probabilidad del evento dado el evento también conocida como probabilidad a posteriori, y
es la probabilidad total del evento La ecuación (1) es conocida como la fórmula de Bayes.

 

Ejemplos resueltos del Teorema de Bayes

 

1 El de los empleados de una empresa son ingenieros y otro son economistas. El de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

Solución: Considere los siguientes eventos y sus probabilidades:

  • "Los empleados son ingenieros"
  • "Los empleados son economistas"
  • "Los empleados tienen otra carrera"

Además, considere el evento "el empleado ocupa un puesto directivo". El ejercicio nos da también las siguientes probabilidades:

La información anterior puede ser resumida en el siguiente diagrama de árbol:

Diagrama de árbol en el teorema de Bayes

Estamos interesados en conocer , es decir, la probabilidad de que un empleado sea ingeniero dado que a priori sabemos que es directivo. Siguiendo la fórmula de Bayes tenemos que

 

2 La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es . La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es . En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Solución: Considere los siguientes eventos y sus probabolidades:

  • "Se produce un incidente"
  • "No se produce un incidente"

Además, considere el evento "Suena la alarma" y el evento "No suena la alarma". El ejercicio nos da también las siguientes probabilidades:

La información anterior puede ser resumida en el siguiente diagrama de árbol:

Diagrama de árbol en el teorema de Bayes

Estamos interesados en conocer , es decir, la probabilidad de que no haya ocurrido ningún incidente dado que ha sonado la alarma. Siguiendo la fórmula de Bayes tenemos que

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3Un análisis de sangre de laboratorio tiene una eficacia del para detectar una determinada enfermedad cuando, de hecho, está presente. Sin embargo, la prueba también arroja un resultado "falso positivo" para el de las personas sanas analizadas. (Es decir, si se hace la prueba a una persona sana, entonces, con una probabilidad de el resultado de la prueba implicará que tiene la enfermedad). Si el de la población en realidad tiene la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que una persona tiene la enfermedad dado que el resultado de la prueba es positivo?

Solución: Considere el evento "Tiene la enfermedad" cuya probabilidad es y el evento "El resultado es positivo". Sabemos que el laboratorio tiene una eficacia del para detectar una determinada enfermedad cuando en realidad se tiene, entonces tenemos que Ahora considere el evento "No tiene la enfermedad" cuya probabilidad es y el evento "El resultado es negativo". Las hipótesis nos indican que

Estamos interesados en conocer , es decir, la probabilidad de que una persona esté enferma dado que la prueba haya dado positivo. Siguiendo la fórmula de Bayes tenemos que

 

4 En una cierta etapa de una investigación criminal, el inspector a cargo está convencido en un de la culpabilidad de cierto sospechoso. Supongamos, sin embargo, que se descubre una nueva prueba que muestra que el delincuente tiene una determinada característica. Si el de la población posee esta característica, ¿qué tan seguro debe estar el inspector de la culpabilidad del sospechoso ahora si resulta que el sospechoso tiene esta característica?

Solución: Considere el evento "El sospechoso es culpable" cuya probabilidad, según el ejercicio, es . También, considere el evento "Coincide con la evidencia alguien inocente". De las hipótesis se sigue que es decir, alguien que coincide con la evidencia dado que es culpable siempre es verdadero. Además, si el evento "El sospechoso es inocente", entonces se sigue que Estamos interesados en conocer , esto es, la probablidad de que sea culpable dado que coincide con la nueva evidenica. Siguiendo la fórmula de Bayes tenemos que

 

5Una fábrica de clavos dispone de máquinas que elaboran el y de los clavos que producen. El porcentaje de clavos defectuosos de cada máquina es del y , respectivamente. Si se selecciona al azar un clavo de la producción y este fue defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina ?

Solución: Considere los siguientes eventos con sus respectivas probabilidades:

  • "Clavos fabricados por la máquina "
  • "Clavos fabricados por la máquina "
  • "Los clavos fabricados son defectuosos"

Estamos interesados en conocer , es decir, la probabilidad de que un clavo seleccionado al azar de la producción haya sido fabricado por la máquina dado que ha salido defectuoso. Siguiendo la fórmula de Bayes tenemos que

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗