¿Qué es una integral y para que sirve?

 

Principalmente la integral es conocida como la operación inversa de la derivada, la cual tiene la principal función de calcular el área bajo una curva, se encuentra ampliamente relacionada con el estudio del calculo infinitesimal.

 

Dato curioso:

¿ Habías notado que al resolver una integral, siempre agregamos un valor constante?

 

Por ejemplo:

 

 

Si lo pensamos un poco, esto tiene mucho sentido, pues la derivada de cualquier constante  es ,  lo cual significa que al derivar una constante, esta desaparecerá, lo lógico es que al aplicar la operación contraria a la derivada, es decir, cuando integremos el valor , entonces tendremos como resultado una constante.

 

Sobre los métodos para resolver integrales

 

Así como para las derivadas, las integrales cuentan con 2 métodos generales:

 

1 A través del concepto de limite

2 A través de fórmulas para casos específicos

 

Podría decirse que por cada forma de resolver una derivada, existe una forma de resolver una integral.

 

Ejemplo:

 

Dada la función 

 

Su derivada es   y la integral de esta ultima seria

 

Ejercicios propuestos sobre integración

 

1 Integra la siguiente función

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

 

Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

 

y

 

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

 

 
 

2 Integra la siguiente función

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

 

Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

 

y

 

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

 

 
 

3 Integra la siguiente función

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

 

Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

 

y

 

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

 

Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar

 

 

en este caso y serán

 

 

y

 

 

 

Por último volveremos a aplicar integración por partes para integrar

 

 

en este caso y serán

 

 

y

 

 

 

Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que

 

 

 
 

4 Integra la siguiente función

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

 

Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

 

y

 

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

 

 
 

5 Integra la siguiente función

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

 

Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

 

y

 

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tenemos que

 

 

 
 

6 Integra la siguiente función

Integraremos esta función "por partes".

 

Recordemos que esto nos dice que

 

 

Decidamos que parte de la función será y cual será . En nuestro caso los tomaremos de la siguiente manera

 

 

y

 

 

Sustituyendo estos valores en una fórmula de integración por partes tnnemos que

 

 

Volveremos a aplicar la integración por partes para integrar

 

 

en este caso y serán

 

 

y

 

 

 

Sustituyendo todo esto en nuestra primer integral tenemos que aparece la integral que deseamos calcular del lado izquierdo y del lado derecho pero con signo negativo, por lo tanto lo único que necesitamos hacer es despejar la integral que deseamos encontrar

 

 

 
 

7 Integra la siguiente función

Para integrar esta función primero necesitamos simplificar dicha función

 

 

Para simplificarla y dejarla en una expresión fácil de integrarl aplicaremos fracciones parciales. No se explicará a fondo la teoría de fracciones parciales, sin embargo se intentará escribir cada paso para evitar confusión alguna.

 

Dado que el denominador es un polinomio de orden uno a la tercera potencia, tenemos que en general nuestra expresión se puede escribir como

 

 

para ciertos números reales , y , para encontrar los valores de estas incógnitas debemos realizar las sumas y luego igualar los coeficientes de los términos del mismo grado, esto es

 

 

de esto se sigue que

 

 

Por lo tanto, los numeradores son iguales

 

 

y los coeficientes de los términos de mismo grado tambien son iguales. Es decir

 

 

De la primera igualdad es directo que . Sustituyendo el valor de en la segunda igualdad tenemos

 

 

Sustituyendo el valor de y en la tercer igualdad tenemos que

 

 

Así, tenemos que nuestra función es igual a

 

 

Ahora sí, procedamos a integrar. Usaremos método de cambio de variable, para ello tomaremos

 

 

 

 
 

8 Integra la siguiente función

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

 

 

Notemos que, además, . Así, sustituyendo en la integral original

 

 

 
 

9 Integra la siguiente función

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

 

 

Notemos que, además, . Así, sustituyendo en la integral original

 

 

 
 

10 Integra la siguiente función

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

 

 

Notemos que, además, . Así, sustituyendo en la integral original

 

 

 
 

11 Integra la siguiente función

Integraremos usando el método de cambio de variable. Tomemos

 

 

Ahora despejemos los diferenciales

 

 

Así, sustituyendo en la integral original

 

 

Aplicaremos fracciones parciales para simplificar dicha fracción y expresarla como suma de fracciones fácil de integrar. Tenemos que

 

 

Desarrollando la última suma tenemos

 

 

Igualando los numeradores tenemos que de donde se sigue directamente que

 

 

Notemos que de la primer igualdad se sigue directamente que , y de la segunda se sigue que , por lo tanto

 

 

Notemos que entonces

 

 

Sustituiremos ésto en la integral

 

 

de donde se sigue que, al sustituir el valor de en términos de , esto es,

 

 

 
 

12 Integra la siguiente función

Integraremos por sustitución trigonométrica. Tomaremos

 

 

Sustituyendo estos valores en la integral

 

 

por último, para escribir de nuevo esto en términos de , notemos que al hacer sustitución tomamos , despejaremos de aquí

 

 

sustituyendo tenemos

 

 

 
 

13 Integra la siguiente función

Integraremos utilizando el método de cambio de variable. Tomaremos

 

 

Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos

 

 

Ahora simplifiquemos la expresión dentro de la integral usando fracciones parciales. Tenemos que

 

 

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones

 

 

De donde se sigue que , , , , y . Así, nuestra expresión es

 

 

Sustituyendo en nuestra integral obtenemos

 

 

Solo nos falta escribirlo en términos de , para esto notemos que , por lo tanto, , sustituyendo obtenemos

 

 

 
 

14 Integra la siguiente función

Integraremos usando el método de cambio de variable. Primero notemos que

 

 

Nuestro cambio de variable será

 

 

Derivando podemos ver que

 

 

Dado que en la integral tenemos , debemos escribir esta función en término de para poder sustituir la función en terminos de . Recordemos la siguiente identidad trigonométrica

 

 

así, en pocas palabras tenemos que

 

 

Sustituyendo en la integral obtenemos

 

 

 
 

15 Integra la siguiente función

Integraremos utilizando el método de cambio de variable. Tomaremos

 

 

del diferencial se sigue que . Ahora, sustituyendo esto en nuestra integral obtenemos

 

 

 
 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗