Lo primero que haremos es sustituir los valores de , en la combinación lineal, por lo que tenemos:
Ahora haremos la multiplicación por el escalar:
Por lo que finalmente necesitamos hacer la suma de los vectores para resolver el problema:
Ejercicio 2
¿Se puede expresar el vector como combinación lineal de los vectores , ?
Para averiguar si es posible expresar el vector como combinación lineal de los vectores , debemos encontrar escalares , tales que:
Si sustituimos los valores de tenemos:
Podemos notar que esto es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones;
Para resolver esto tomamos la primera ecuación y despejamos para , por lo que obtenemos:
Ahora sustituimos el valor de en la segunda ecuación para obtener:
Por lo que se sigue que: .
ya que encontramos pudimos encontrar escalares , tales que:
Entonces concluimos que el vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores , .
Ejercicio 3
¿Qué pares de los siguientes vectores forman una base para el plano ?
Dado que estamos buscando una base para el plano , sabemos que dos vectores forman una base si no son linealmente dependientes, y a su vez tenemos que dos vectores son linealmente dependientes si uno es un múltiplo escalar del otro.
Es decir basta con ver si en un par de vectores ninguno de ellos es múltiplo de otro para que sean una base.
Ahora dados dos vectores decimos que uno es múltiplo del otro si
Empezamos por tomar los vectores y , notamos que:
Por lo que y forman una base para el plano.
Tomamos ahora los vectores y y notamos que:
Por lo que y no forman una base para el plano.
Por ultimo tomamos los vectores y , y notamos que:
Por lo que y forman una base para el plano.
Ejercicio 4
Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector
La formula para encontrar un vector unitario de la misma dirección de un vector está dada por:
Donde representa la norma del vector .
Por lo que sustituyendo los valores que nos han dado tenemos que:
Ejercicio 5
Suponiendo que respecto de la base ortonormal del plano los vectores tienen como expresiones:
calcular el valor de sabiendo que
Sustituyendo los respectivos valores de en la expresión y desarrollando obtenemos lo siguiente:
Por lo que despejando de esta última expresión tenemos que:
Ejercicio 6
Dados los vectores y , calcula para que los vectores y sean:
1 Perpendiculares.
Si queremos que los vectores sean perpendiculares entonces debemos elegir un valor de tal que:
Si sustituimos los valores de ambos vectores en esta última ecuación y luego la desarrollamos, obtenemos:
Por lo que despejando en esta última expresión tenemos:
2 Paralelos.
Pedir que dos vectores sean paralelos es equivalente a pedir que uno de los vectores sea un múltiplo escalar del otro, por lo que debemos elegir un valor de tal que:
El cual podemos obtener fácilmente despejando de esta última expresión, si lo hacemos obtenemos:
3 Formen un ánguulo de .
El ángulo que forman dos vectores y viene dado por la expresión:
Donde representa la norma del vector (similar para ), y es el ángulo entre los vectores.
Entonces si buscamos que el ángulo entre los vectores sea significa que:
Por ende sustituyendo el valor de y en esta última expresión tenemos:
Ahora solo nos falta usar la formula general de segundo grado para encontrar las soluciones de la última expresión, las cuales son:
Ejercicio 7
Hallar si el ángulo que forma con es:
1.
Si el ángulo entre los vectores es de entonces los vectores son perpendiculares por lo que el valor de de ser tal que:
Si sustituimos los valores de ambos vectores en esta última ecuación y luego la desarrollamos, obtenemos:
Por lo que despejando en esta última expresión tenemos:
2.
Si el ángulo entre dos vectores es significa que los vectores son paralelos, lo cual es equivalente a pedir que uno de los vectores sea un múltiplo escalar del otro, por lo que debemos encontrar un valor de tal que:
El cual podemos obtener fácilmente despejando de esta última expresión, si lo hacemos obtenemos:
3 Formen un ánguulo de .
El ángulo que forman dos vectores y viene dado por la expresión:
Donde representa la norma del vector (similar para ), y es el ángulo entre los vectores.
Entonces si buscamos que el ángulo entre los vectores sea significa que:
Por ende sustituyendo el valor de y en esta última expresión tenemos:
Ahora solo nos falta usar la formula general de segundo grado para encontrar las soluciones de la última expresión, las cuales son:
Ejercicio 8
Suponiendo que respecto a la base ortonormal del plano los vectores y tienen como expresiones:
Calcular el valor de para que los dos vectores sean ortogonales.
Si dos vectores y son ortogonales entonces se cumple: .
Entonces debemos buscar un valor de tal que esto ocurra, para encontrarlo sustituimos los valores de los vectores desarrollamos esa expresión.
Ejercicio 9
Calcular los ángulos del triángulo de vértices:
El ángulo que forman dos vectores y viene dado por la expresión:
Donde representa la norma del vector (similar para ), y es el ángulo entre los vectores.
En este caso podemos tomar como vectores los segmentos que conectan los puntos del triángulo de la siguiente manera:
Primero vamos a encontrar el ángulo que se encuentra entre los vectores y con la fórmula mencionada al inicio, por lo que hacemos:
Ahora vamos a encontrar el ángulo que se encuentra entre los vectores y con la fórmula mencionada al inicio, por lo que hacemos:
Dado que es una función par entonces , por lo que usando esto tenemos que:
Para encontrar el valor del último ángulo podemos usar el mismo proceso que usamos para los anteriores, pero usaremos el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a , por lo que tenemos que:
Ejercicio 10
Calcula la proyección del vector sobre el vector .
La proyección del vector sobre el vector está dada por la fórmula:
donde es la norma del vector .
Entonces sustituyendo los valores de los vectores y en esta fomula tenemos:
Ejercicio 11
Calcula la proyección del vector sobre él vector , siendo .
Primero vamos a calcular los componentes de los vectores y los cuales son:
Ahora la proyección de un vector sobre el vector está dada por la fórmula:
Por lo que si sustituimos los valores de los vectores del problema tenemos:
Ejercicio 12
Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados y del triángulo: , es paralelo al lado e igual a su mitad.
Lo primero que tenemos que hacer es encontrar el punto medio de los lados y , el cual lo podemos calcular con la siguiente fórmula:
Por lo que el punto medio del lado es:
y en cuanto al punto medio del lado es:
Por lo que el segmento que une los puntos medios de estos lados es
Ahora el segmento es paralelo al lado si sus componentes son proporcionales (uno de ellos es múltiplo del otro).
Dados dos vectores decimos que uno es múltiplo del otro si
Entonces si usamos esto último podemos averiguar si los vectores , son paralelos, por lo que sustituimos sus componetes en esta expresión y tenemos:
Por lo que efectivamente el segmento es paralelo al lado .
Ejercicio 13
Si forma una base ortonormal, calcular:
1.
2.
3.
4.
Debido a que los vectores forman una base ortonormal significa que la norma de cada uno de ellos es igual a .
Ahora sabemos que el ángulo entre dos vectores esta dado por:
Por lo que podemos reescribir esta expresión de la siguiente forma:
Entonces usando esta última expresión tenemos:
1
Dado que estamos calculando el producto punto entre dos vectores iguales, entonces el ángulo entre ellos es y su norma es por ser vectores pertenecientes a la base ortonormal, por lo que tenemos que:
2
Dado que estamos calculando el producto punto entre dos vectores pertenecientes a la base ortonormal, esto indica que el ángulo entre los dos es y su norma es , por lo que tenemos que:
3
Dado que estamos calculando el producto punto entre dos vectores pertenecientes a la base ortonormal, esto indica que el ángulo entre los dos es y su norma es , por lo que tenemos que:
4
Dado que estamos calculando el producto punto entre dos vectores iguales, entonces el ángulo entre ellos es y su norma es por ser vectores pertenecientes a la base ortonormal, por lo que tenemos que:
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Marta
➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición.
Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia.
Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo.
Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Sean u = 2i − 3j y v = −4i + 6j. Encuentre: 4v − 6u , con su bosquejo
Bryan Yoga Michel
Al trasladar el punto A(2,4) dado el vector B(2-2) se obtiene?
Franco Ojeda
Hola, de la matriz que calcularon la determinante no es =0.
Antonio Tapia de Superprof
Podrías señalar el ejercicio para rectificar por favor.
Petra
Calcular x²+1
Jazmin Valenzuela
Cómo resolver los ejercicios si están en kilómetros por ejemplo:
A= 300km b=4,000km C= 5,000km
^^
Osea cuando sustituimos tenemos que poner √(X1,X2)² + (Y1,X2)²
O (X2,X1)² +(Y2,Y1)²
¿Cual de las dos?
Antonio Tapia de Superprof
Depende de que quieras obtener y que significa la expresión (X1,X2), la expresión √(X1,X2)² + (Y1,X2)² esta mal escrita si quieres encontrar una distancia.
, 
en la combinación lineal, por lo que tenemos:
como combinación lineal de los vectores 
, 
?
como combinación lineal de los vectores 
, 
tales que:
tenemos:
.
?
decimos que uno es múltiplo del otro si 
y 
, notamos que:
y notamos que:
de la misma dirección del vector 
está dada por:
representa la norma del vector 
del plano los vectores 
tienen como expresiones:
sabiendo que 
en la expresión 
y desarrollando obtenemos lo siguiente:
y 
, calcula 
.
y 
viene dado por la expresión:
representa la norma del vector 
(similar para 
es el ángulo entre los vectores.
significa que:
si el ángulo que forma 
con 
es:
.
.
.
significa que:
del plano los vectores 
y 
tienen como expresiones:
.
y 
con la fórmula mencionada al inicio, por lo que hacemos:
con la fórmula mencionada al inicio, por lo que hacemos:
es una función par entonces 
, por lo que usando esto tenemos que:
podemos usar el mismo proceso que usamos para los anteriores, pero usaremos el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 
, por lo que tenemos que:
sobre el vector 
.
.
los cuales son:
y 
del triángulo: 
, es paralelo al lado 
e igual a su mitad.
es paralelo al lado 
si sus componentes son proporcionales (uno de ellos es múltiplo del otro).
forma una base ortonormal, calcular:
.
.
.
.
forman una base ortonormal significa que la norma de cada uno de ellos es igual a 
.
y su norma es 
y su norma es 
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Sean u = 2i − 3j y v = −4i + 6j. Encuentre: 4v − 6u , con su bosquejo
Al trasladar el punto A(2,4) dado el vector B(2-2) se obtiene?
Hola, de la matriz que calcularon la determinante no es =0.
Podrías señalar el ejercicio para rectificar por favor.
Calcular x²+1
Cómo resolver los ejercicios si están en kilómetros por ejemplo:
A= 300km b=4,000km C= 5,000km
Osea cuando sustituimos tenemos que poner √(X1,X2)² + (Y1,X2)²
O (X2,X1)² +(Y2,Y1)²
¿Cual de las dos?
Depende de que quieras obtener y que significa la expresión (X1,X2), la expresión √(X1,X2)² + (Y1,X2)² esta mal escrita si quieres encontrar una distancia.
24 4 70 NE
Vectores modelo