Bienvenidos al tema de coordenadas del punto medio. En este artículo, exploraremos un concepto fundamental en la geometría analítica: cómo encontrar el punto medio entre dos puntos en un plano cartesiano. Este concepto es esencial en diversos campos, desde la física hasta la ingeniería y la programación.

El punto medio de un segmento de línea es aquel que se encuentra exactamente a mitad de camino entre dos puntos dados. A través de fórmulas simples y una comprensión clara de las coordenadas cartesianas, podrás determinar fácilmente las coordenadas del punto medio. Además, estudiaremos ejemplos prácticos que te ayudarán a aplicar este conocimiento en situaciones reales.

¡Comencemos nuestro viaje hacia el entendimiento de las coordenadas del punto medio y su relevancia en el mundo de la geometría analítica!

 

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Vamos

Como determinar el punto medio

 

Consideremos el segmento con extremos en los puntos y de la siguiente figura:

 

Punto medio de un segmento

 

El punto medio es aquel punto que está en el segmento y que hace que el segmento mida lo mismo que el segmento , es decir,

 

 

El punto medio se calcula con la siguiente fórmula:

 

 

Se dice que el punto es simétrico de respecto a si es el punto medio del segmento .

 

Punto que divide un segmento en una proporción dada

 

En general, si queremos encontrar un punto que divida el segmento de recta de forma que cumpla una razón

 

 

entonces utilizamos

 

 

Ejercicios de coordenadas del punto medio

 

1 Halla las coordenadas del punto medio del segmento donde los extremos son:

a y ,

b y .

Para encontrar el punto medio, simplemente utilizamos la fórmula:

 

a Para el primer caso, tenemos

 

 

Por lo que el punto medio es .

 

b Mientras que para el segundo caso, el punto medio es

 

 

 

2 Calcula:

a el punto simétrico de respecto al punto ,

b el punto simétrico a respecto de .

a Denotemos al punto simétrico de como . Entonces es el punto medio del segmento . Por tanto, si tiene coordenadas , entonces se calcula utilizando

 

 

Pero, además, se tiene que . Por lo tanto,

 

 

Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos

 

 

Por lo tanto, al despejar tenemos y . Es decir, el punto simétrico es .

 

b De forma similar, denotaremos al punto simétrico como . Así, se calcula utilizando

 

 

Pero, además, se tiene que . Por lo tanto,

 

 

Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos

 

 

Por lo tanto, al despejar tenemos y . Es decir, el punto simétrico es .

 

 

3 Calcula los puntos y que dividen al segmento , cuyos extremos son y , en tres partes iguales.

Notemos que debemos encontrar dos puntos y tales que

 

 

a Para encontrar el primer punto, notemos que la razón es

 

 

ya que el segmento del denominador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:

 

 

b Similarmente, para encontrar el segundo punto ahora la razón es

 

 

ya que, en este caso, el segmento del numerador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:

 

 

Por lo tanto, los puntos son y .

 

 

4 Encuentra las coordenadas del punto , sabiendo que es el punto medio de y que .

Denotemos las coordenadas del punto como . Entonces, se calcula utilizando

 

 

Además, tenemos que . Por tanto, tenemos las ecuaciones

 

 

Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos

 

 

Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que y . Así, el punto es

 

 

 

5 Encuentra las coordenadas del punto que se encuentra cercano a y colineal al segmento , sabiendo que y mide lo mismo que .

Como mide lo mismo que , entonces es el punto medio de .

 

Denotemos las coordenadas del punto como . Entonces, se calcula utilizando

 

 

Además, tenemos que . Por tanto, tenemos las ecuaciones

 

 

Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos

 

 

Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que y . Así, el punto es

 

 

 

6 Encuentra las coordenadas del punto que se encuentra cercano a y colineal al segmento , sabiendo que y mide el doble que .

Como mide el doble que , entonces

 

 

Denotemos las coordenadas del punto como . Entonces, se calcula utilizando

 

 

Además, tenemos que . Por tanto, tenemos las ecuaciones

 

 

Si multiplicamos por 3 las ecuaciones, tenemos

 

 

Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que y . Así, el punto es

 

 

 

7 Considera el segmento con extremos y . Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento en dos segmentos tales que es la mitad de .

Como es la mitad de , entonces tenemos

 

 

Por tanto, sólo utilizamos la fórmula:

 

 

Así, el punto es .

 

 

8 Si el segmento con extremos y se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

Buscaremos 3 puntos , y tales que

 

 

tal y como se muestra en la siguiente figura:

 

segmento dividido en cuatro partes iguales

 

a Para calcular , notemos que

 

 

ya que el segmento de a medirá la tercera parte del segmento que va de a . Así, utilizamos la fórmula para calcular :

 

 

b Observemos que es el punto medio entre y , por lo que se calcula utilizando

 

 

c Por último, para tenemos

 

 

ya que el segmento de a medirá tres veces la longitud del segmento que va de a . Así, utilizamos la fórmula para calcular :

 

 

Por lo tanto, lo puntos son

 

 

 

9 Si el segmento con extremos y se divide en dos partes por un punto de manera que mide la tercera parte de , ¿cuáles son las coordenadas de ?

Buscaremos el punto tal que

 

 

Para calcular , notemos que

 

 

ya que el segmento de a medirá la tercera parte del segmento que va de a . Así, utilizamos la fórmula para calcular :

 

 

Es decir, el punto es

 

 

 

10 Dados los puntos y , encuentra un punto que esté alineado con y , y que cumpla con la relación

La fórmula que tenemos para puntos medios o puntos que parten un segmento en una razón dada siempre se utiliza con puntos colineales. Por lo tanto, utilizaremos esa fórmula.

 

Asimismo, veamos que ya se nos proporcionó la razón , por lo que procedemos a utilizar la fórmula:

 

 

Es decir, el punto es

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗