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Vamos

Definición y propiedades del baricentro

 

El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas. En la siguiente imagen podemos observar el baricentro de un triángulo:

 

baricentro de un triángulo

 

Las coordenadas del baricentro del triángulo con vértices , y son

 

 

Recordemos que las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de cualquier lado con el vértice opuesto. Así, en la siguiente figura el punto es el punto medio entre y (y ocurre algo similar con los puntos y ).

 

medianas de un triángulo

 

Ahora, consideremos un triángulo en el espacio, cuyas coordenadas son , y . En este caso, las coordenadas del baricentro son

 

 

En geometría, los términos de baricentro, centro de gravedad y centroide son sinónimos. Sin embargo, en física el concepto de centro de gravedad depende de la densidad del objeto y es diferente al baricentro.

 

Asimismo, si un objeto se forma con puntos , , , , entonces las coordenadas del baricentro son

 

 

Ejemplos

 

1 Encuentra las coordenadas del baricentro para:

 

a un triángulo con vértices en , y ,

 

b el triángulo con vértices , y .

 

En este ejercicio sólo debemos utilizar la fórmula del baricentro de un triángulo. Así:

 

a Para el primer inciso tenemos

 

 

b Mientras que para el segundo inciso tenemos

 

 

2 Considera un triángulo donde dos de sus vértices son y . Si el baricentro del triángulo es , ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice ?

 

Denotemos las coordenadas de como . Entonces el baricentro se calcula utilizando

 

 

Pero también tenemos que , por lo que

 

 

Multiplicando por 3, obtenemos

 

 

De aquí se sigue que y . Por lo tanto, el vértice es

 

 

3 Sean , y los vértices de un triángulo en el espacio. Determina las coordenadas de su baricentro.

 

Simplemente utilizamos la fórmula de las coordenadas del baricentro:

 

 

4 Dado el triángulo de vértices , y , encuentra:

 

a las ecuaciones de las medianas del triángulo,

 

b las coordenadas del baricentro del triángulo,

 

c las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo .

 

Observa la siguiente figura:

 

imagen del ejercicio

 

a El primer paso será calcular las coordenadas de los puntos , y . Notemos que es el punto medio de y , es decir,

 

 

Similarmente, es el punto medio de y ,

 

 

Luego, es el punto medio de y ,

 

 

De este modo, ya tenemos los puntos medios y ya podemos calcular las ecuaciones de las rectas. Como tenemos rectas en el espacio, entonces la ecuación de la recta es la ecuación parametrizada. Recordemos que si y son dos puntos en el espacio, entonces la ecuación de la recta que pasa por y es

 

 

Así, la mediana que pasa por y es

 

 

es decir

 

 

Luego, la mediana que pasa por y es

 

 

es decir

 

 

Por último, la mediana que pasa por y es

 

 

es decir

 

 

b Para calcular las coordenadas del baricentro tenemos dos opciones: encontrar la intersección de las tres medianas o utilizar la fórmula que ya conocemos. Como es más sencillo utilizar la fórmula, es lo que haremos:

 

 

c Ahora calcularemos el baricentro del triángulo . Utilizamos la misma fórmula

 

 

Observemos que ambos triángulos tienen el mismo baricentro.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗