Definición y propiedades del baricentro
El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas. En la siguiente imagen podemos observar el baricentro de un triángulo:
Las coordenadas del baricentro del triángulo con vértices , y son
Recordemos que las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de cualquier lado con el vértice opuesto. Así, en la siguiente figura el punto es el punto medio entre y (y ocurre algo similar con los puntos y ).
Ahora, consideremos un triángulo en el espacio, cuyas coordenadas son , y . En este caso, las coordenadas del baricentro son
En geometría, los términos de baricentro, centro de gravedad y centroide son sinónimos. Sin embargo, en física el concepto de centro de gravedad depende de la densidad del objeto y es diferente al baricentro.
Asimismo, si un objeto se forma con puntos , , , , entonces las coordenadas del baricentro son
Ejemplos
1 Encuentra las coordenadas del baricentro para:
a un triángulo con vértices en , y ,
b el triángulo con vértices , y .
En este ejercicio sólo debemos utilizar la fórmula del baricentro de un triángulo. Así:
a Para el primer inciso tenemos
b Mientras que para el segundo inciso tenemos
2 Considera un triángulo donde dos de sus vértices son y . Si el baricentro del triángulo es , ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice ?
Denotemos las coordenadas de como . Entonces el baricentro se calcula utilizando
Pero también tenemos que , por lo que
Multiplicando por 3, obtenemos
De aquí se sigue que y . Por lo tanto, el vértice es
3 Sean , y los vértices de un triángulo en el espacio. Determina las coordenadas de su baricentro.
Simplemente utilizamos la fórmula de las coordenadas del baricentro:
4 Dado el triángulo de vértices , y , encuentra:
a las ecuaciones de las medianas del triángulo,
b las coordenadas del baricentro del triángulo,
c las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo .
Observa la siguiente figura:
a El primer paso será calcular las coordenadas de los puntos , y . Notemos que es el punto medio de y , es decir,
Similarmente, es el punto medio de y ,
Luego, es el punto medio de y ,
De este modo, ya tenemos los puntos medios y ya podemos calcular las ecuaciones de las rectas. Como tenemos rectas en el espacio, entonces la ecuación de la recta es la ecuación parametrizada. Recordemos que si y son dos puntos en el espacio, entonces la ecuación de la recta que pasa por y es
Así, la mediana que pasa por y es
es decir
Luego, la mediana que pasa por y es
es decir
Por último, la mediana que pasa por y es
es decir
b Para calcular las coordenadas del baricentro tenemos dos opciones: encontrar la intersección de las tres medianas o utilizar la fórmula que ya conocemos. Como es más sencillo utilizar la fórmula, es lo que haremos:
c Ahora calcularemos el baricentro del triángulo . Utilizamos la misma fórmula
Observemos que ambos triángulos tienen el mismo baricentro.
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Sean u = 2i − 3j y v = −4i + 6j. Encuentre: 4v − 6u , con su bosquejo
Al trasladar el punto A(2,4) dado el vector B(2-2) se obtiene?
Hola, de la matriz que calcularon la determinante no es =0.
Podrías señalar el ejercicio para rectificar por favor.
Calcular x²+1
Cómo resolver los ejercicios si están en kilómetros por ejemplo:
A= 300km b=4,000km C= 5,000km
Osea cuando sustituimos tenemos que poner √(X1,X2)² + (Y1,X2)²
O (X2,X1)² +(Y2,Y1)²
¿Cual de las dos?
Depende de que quieras obtener y que significa la expresión (X1,X2), la expresión √(X1,X2)² + (Y1,X2)² esta mal escrita si quieres encontrar una distancia.
24 4 70 NE
Vectores modelo