Ejercicios interactivos de rectas paralelas

Elige la opción correcta en cada caso:

1Calcula una recta paralela a la recta r ≡ y = −2x + 1 que pase por el punto (4, −1)




La pendiente de la recta r es mr = −2. Como tenemos que hallar una recta paralela a ésta, sus pendientes han de coincidir. Así que la pendiente de la nueva recta s es también ms = −2.

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

y − y1 = m (x − x1)

y − (−1) = −2 (x − 4)

y = −2x + 8 − 1

s ≡ y = −2x + 7

2Calcula una recta paralela a la recta que pase por el punto (−2, 1)




La pendiente de la recta r es

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

solución

3Calcula una recta paralela a la recta r ≡ 3x + 2y − 7 = 0 que pase por el punto (0, −3)




La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:

La pendiente de la recta r es soluciónsolución

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

solución

4La recta paralela a la recta r ≡ x − y + 4 = 0 que pasa por el punto (−2, 1), también pasa por el punto:




La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:

r ≡ y = x + 4

La pendiente de la recta r es mr = 1. Como tenemos que hallar una recta paralela a ésta, sus pendientes han de coincidir. Así que la pendiente de la recta s, paralela a la recta r, es también ms = 1.

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

y − y1 = m (x − x1)

y − 1 = 1 (x + 2)

y = x + 2 + 1

s ≡ y = x + 3

Sustituyendo las coordenadas de los puntos en la recta, tenemos:

2 = −1 + 3

Así que la recta s también pasa por el punto (−1, 2).

Podemos comprobar que la recta s no pasa por los otros dos puntos:

1 ≠ −3 + 3

−2 ≠ 0 + 3

5Comprueba si las rectas r ≡ 2x − 3y − 1 = 0 y s ≡ −6x + 9y − 5 = 0 son paralelas



Para que las rectas r y s sean paralelas, sus coeficientes tienen que ser proporcionales.

Los coeficientes son proporcionales, así que las rectas r y s son paralelas.

6Entre estas rectas, ¿cuál no es paralela a las otras dos? s ≡ 3x − 4y + 2 = 0 t ≡ 8x − 6y − 3 = 0




Para que dos rectas sean paralelas, sus pendientes han de coincidir. Calculemos las pendientes de las tres rectas y veamos cuáles coinciden:

solución

La pendiente de la recta r es solución

 s ≡ 3x − 4y + 2 = 0

Pasamos la recta s a su ecuación explícita:

La pendiente de la recta s es solución

 t ≡ 8x − 6y − 3 = 0

Pasamos la recta t a su ecuación explícita:

La pendiente de la recta t es

Entonces las rectas paralelas son: solución

7Comprueba si las rectas r ≡ x − 2y + 9 y s: pasa por los puntos (−1, −2) y (7, 2), son paralelas



Para que las rectas sean paralelas, sus pendientes han de coincidir. Calculamos las pendientes de las rectas y vemos si coinciden.

Para hallar la pendiente de la recta r, la pasamos primero a forma explícita:

solución

La pendiente de la recta r es solución

La recta s que pasa por los puntos (−1, −2) y (7, 2), tiene pendiente:

solución

Como ambas pendientes coinciden, las rectas son paralelas.

8Comprueba si las rectas r: pasa por los puntos (2, −3) y (4, 7) y s: pasa por los puntos (−1, −4) y (5, 2), son paralelas



Para que las rectas r y s sean paralelas, sus pendientes han de coincidir. Calculamos las pendientes de las rectas y vemos si coinciden.

La recta r que pasa por los puntos (2, −3) y (4, 7), tiene pendiente:

solución

La recta s que pasa por los puntos (−1, −4) y (5, 2), tiene pendiente:

solución

Como las pendientes de ambas rectas no coinciden, las rectas no son paralelas.

Contesta a las siguientes cuestiones:

9Calcula k para que las rectas r ≡ kx + 4y − 1 = 0 y s ≡ 5x + 6y − 1 = 0 sean paralelas.

k =

Para que las rectas r y s sean paralelas, sus pendientes deben coincidir. Calculamos las pendientes de ambas rectas, las igualamos y despejamos el valor de k.

La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:

La pendiente de la recta r es solución

Análogamente, hallamos la pendiente de la recta s:

La pendiente de la recta s es solución

Igualamos las pendientes y despejamos el valor de k:

10Calcula k para que las rectas r ≡ y = kx + 3 y sean paralelas

k =

La pendiente de la recta r es mr = k.

La recta s viene dada por su ecuación continua, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita.

La pendiente de la recta s es solución

Igualando las pendientes tenemos que solución

11Calcula a y b para que la recta r ≡ ax + 5y − 2 = 0 que pasa por el punto (2, 1) y la recta s ≡ bx − 3y + 2 = 0 sean paralelas

a =, b =

Como la recta r pasa por el punto (2, 1), sustituimos las coordenadas del punto en la recta y despejamos el valor de a:

a · 2 + 5 · 1 − 2 = 0 ⇒ 2a + 5 − 2 = 0 ⇒ 2a = −3 ⇒

La ecuación de la recta r en forma explícita es:

solución

La pendiente de la recta r es solución

Pasamos la recta s a forma explícita y hallamos su pendiente.

La pendiente de la recta s es solución

Como las rectas r y s tienen que ser paralelas, sus pendientes deben ser iguales. Igualamos las pendientes de ambas rectas y obtenemos así el valor de b:

12Calcula a y b para que la recta que pasa por el punto (3, −2) y la recta s ≡ bx + 3y − 4 = 0 sean paralelas

a =, b =

La ecuación de la recta r viene dada en forma continua. Pasémosla a forma general:

solución

Como la recta r pasa por el punto (3, −2), sustituimos las coordenadas del punto en la recta y obtenemos el valor de a:

solución

La ecuación en forma explícita de la recta r es entonces:

solución

La pendiente de la recta r es mr = 2.

Pasamos ahora la recta s a forma explícita y hallamos su pendiente.

solución

La pendiente de la recta s es solución

Como las rectas tienen que ser paralelas, sus pendientes deben ser iguales. Igualamos las pendientes de ambas rectas y obtenemos así el valor de b:

solución

Si tienes dudas puedes consultar la teoría