Ejercicios interactivos de rectas perpendiculares

Elige la opción correcta en cada caso:

1Calcula una recta perpendicular a la recta r ≡ y = 3x − 5 que pase por el punto (1, −3)




La pendiente de la recta que nos dan es mr = 3. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta s es solución.

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

solución

2Calcula una recta perpendicular a la recta r ≡ 5x − 4y + 2 = 0 que pase por el punto (−1, −5)




La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:

La pendiente de la recta r es solución. Como tenemos que hallar una recta perpendicular a ésta, la pendiente de la nueva recta s es solución.

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

solución

3Calcula una recta perpendicular a r ≡ −3x + 2y − 1 = 0, que pasen por el punto (2,4)




 Recta s paralela a la recta r

La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:

solución

La pendiente de la recta r es solución. Como tenemos que hallar una recta paralela a ésta sus pendientes han de coincidir. Así que la pendiente de la nueva recta s es también .

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

solución

 Recta t perpendicular a la recta r

La pendiente de la recta t perpendicular a la recta r es solución.

Volvemos a usar la ecuación punto-pendiente para calcular la ecuación de la recta t.

solución

4La recta r ≡ x + 2y − 4 = 0 y la recta s, perpendicular a r y que pasa por el punto (−1, 2), se cortan en el punto de coordenadas:




La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello basta despejar la y:

solución

La pendiente de la recta r es solución. Entonces la pendiente de la recta s, perpendicular a r, es .

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

Para hallar el punto de corte de las dos rectas, resolvemos el sistema:

solución

Entonces el punto de corte es:

solución

5Comprueba si las rectas r ≡ y = 3x − 2 y s ≡ x + 3y + 5 = 0 son perpendiculares



La pendiente de la recta r es mr = 3.

Para hallar la pendiente de la recta s, la pasamos a forma explícita:

La pendiente de la recta s es solución.

Como se verifica solución, entonces las rectas son perpendiculares.

6Comprueba si las rectas r: pasa por los puntos (3, −3) y (1, 2) y s: pasa por los puntos (5, 2) y (7, −2) son perpendiculares



La recta r que pasa por los puntos (3, −3) y (1, 2), tiene pendiente:

solución

La recta s que pasa por los puntos (5, 2) y (7, −2), tiene pendiente:

solución

Como no se verifica solución, entonces las rectas no son perpendiculares.

7La recta perpendicular a la recta r ≡ x − 4y − 7 = 0 que pasa por el punto (−2, 0) y la recta paralela a la recta s ≡ y = 6x + 1 que pasa por el punto (4, 3) se cortan en el punto de coordenadas:




 Recta perpendicular a la recta r

La recta r viene dada en forma general. Para hallar su pendiente, la pasamos a forma explícita. Para ello, basta despejar la y:

solución

La pendiente de la recta r es . Entonces la pendiente de la recta t, perpendicular a la recta r, es .

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

solución

 Recta paralela a la recta s

La pendiente de la recta s es ms = 6. Entonces la pendiente de la recta u, paralela a la recta s, conincide con la pendiente de s. Así que es mu = ms = 6.

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

solución

 Punto de corte

Para hallar el punto de corte de las rectas t y u, resolvemos el siguiente sistema:

solución

Entonces el punto de corte es:

solución

8La recta perpendicular a la recta r ≡ 8x − 2y − 2 = 0 que pasa por el punto (1, 3), es también:




En primer lugar calculemos la recta perpendicular a la recta r ≡ 8x − 2y − 2 = 0 que pasa por el punto (1, 3):

La recta r viene dada en forma general. Pasémosla a forma explícita para hallar su pendiente.

2y = 8x − 2

r ≡ y = 4x − 1

La pendiente de la recta r es mr = 4. Entonces la pendiente de la recta v, perpendicular a la recta r, es solución

Como tenemos la pendiente de la recta que queremos calcular y un punto por el que pasa, podemos utilizar la ecuación punto-pendiente.

solución

 Veamos si es paralela a la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, −5):

Hallamos la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, −5) utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

solución

Las rectas solución no son paralelas ya que sus pendientes no coinciden.

solución Veamos si es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, −2) y (3, −1):

Hallamos la recta que pasa por los puntos (2, −2) y (3, −1) utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

solución

Las rectas

 Veamos si es paralela a la recta que pasa por los puntos (0, −1) y (4, −2):

Hallamos la recta pasa por los puntos (0, −1) y (4, −2) utilizando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

solución

Las rectas solución y solución son paralelas ya que sus pendientes coinciden.

Contesta a las siguientes cuestiones:

9Calcula k para que las rectas r ≡ x + 3y − 2 = 0 y s ≡ 2x − ky + 5 = 0 sean perpendiculares.

k =

Para que las rectas r y s sean perpendiculares, sus pendientes deben verificar

La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello, basta despejar la y:

solución

La pendiente de la recta r es solución.

Análogamente, hallamos la pendiente de la recta s:

solución

La pendiente de la recta s es solución.

Imponemos la condición para que r y s sean perpendiculares:

solución

10Calcula k para que las rectas r ≡ −kx + 6y + 2 = 0 y sean perpendiculares.

k =

Para que las rectas r y s sean perpendiculares, sus pendientes deben verificar

La recta r viene dada por su ecuación general, para conocer cuál es su pendiente tenemos que pasarla a forma explícita. Para ello, basta despejar la y:

La pendiente de la recta r es solución.

Análogamente, hallamos la pendiente de la recta s:

La pendiente de la recta s es solución.

Imponemos la condición para que r y s sean perpendiculares:

solución

11Calcula a y b para que la recta r ≡ ax + 3y − 1 = 0 que pasa por el punto (4, 2) y la recta s ≡ bx − 2y + 4 = 0 sean perpendiculares

a =, b =

Como la recta r pasa por el punto (4, 2), sustituimos las coordenadas del punto en la recta y despejamos el valor de a:

a· 4 + 3· 2 − 1 = 0 ⇒ 4a + 5 = 0 ⇒ solución

La ecuación de la recta r en forma explícita es:

La pendiente de la recta r es solución.

Pasamos la recta s a forma explícita y hallamos su pendiente.

La pendiente de la recta s es solución.

Como las rectas r y s tienen que ser perpendiculares, sus pendientes tienen que verificar solución. Imponemos la condición y obtenemos así el valor de b:

solución

12Calcula a y b para que la recta que pasa por el punto (1, −2) y la recta s ≡ bx − 4y − 8 = 0 sean perpendiculares

a =, b =

Como la recta r pasa por el punto (1, −2), sustituimos las coordenadas del punto en la recta y obtenemos el valor de a:

solución

La ecuación de la recta r en forma explícita es:

solución

La pendiente de la recta r es solución.

Pasamos la recta s a forma explícita y hallamos su pendiente.

solución

La pendiente de la recta s es solución.

Como las rectas r y s tienen que ser perpendiculares, sus pendientes tienen que verificar solución

solución

Si tienes dudas puedes consultar la teoría