Te damos la bienvenida a la segunda edición de nuestra sección dedicada a la resolución de problemas de Áreas y Volúmenes. En esta segunda entrada, exploraremos aún más a fondo el emocionante mundo de las mediciones geométricas, centrándonos en la determinación de áreas de superficies y volúmenes de sólidos.

A lo largo de esta guía, te presentaremos problemas resueltos que abarcan una amplia gama de figuras tridimensionales y bidimensionales. Cada ejemplo incluirá una descripción paso a paso de la estrategia utilizada, desde la aplicación de fórmulas específicas hasta la consideración de casos especiales que hacen que cada problema sea único.

Además, nos sumergiremos en la resolución de problemas más desafiantes que involucran la combinación de áreas y volúmenes, proporcionándote las herramientas necesarias para enfrentarte a situaciones geométricas complejas.

1 Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

 

1 Para calcular el área total de un tetraedro usamos

 

 

2 Para calcular el volumen de un tetraedro usamos

 

 

 

2 Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.

Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista

 

grafica cubo

 

1 Para calcular la diagonal usamos

 

 

2 Para calcular el área lateral usamos

 

 

3 Para calcular el área total usamos

 

 

4 Para calcular el volumen usamos

 

 

3 Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

 

1 Para calcular el área total de un octaedro usamos

 

 

2 Para calcular el volumen de un octaedro usamos

 

 

4 Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

 

1 Para calcular el área total de un dodecaedro usamos

 

 

2 Para calcular el volumen de un dodecaedro usamos

 

 

5 Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

 

1 Para calcular el área total de un icosaedro usamos

 

 

2 Para calcular el volumen de un icosaedro usamos

 

 

6 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

 

grafica prisma

 

1 Al trazar las diagonales en la base se forman triángulos rectángulos por lo que podemos calcular las medidas de las aristas de la base

 

 

 

2 El área lateral es el área de los 4 rectángulos laterales

 

 

3 El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases

 

 

4 El volumen es igual a el área de la base multiplicada por la altura

 

 

7 Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

 

grafica piramide

 

1 Calculamos la altura, , de uno de los triángulos laterales

 

 

 

2 El área lateral es el área de los 4 triángulos laterales

 

 

3 El área total es la suma del área lateral con el área de la base

 

 

4 El volumen de una pirámide se calcula con:

 

 

8 Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

 

grafica piramide hexagonal

 

1 Calculamos la altura, , de uno de los triángulos laterales

 

 

 

2 El área lateral es el área de los 6 triángulos laterales

 

 

3 El área total es la suma del área lateral con el área de la base, así que debemos calcular el apotema del hexágono y luego sustituimos en la fórmula del área del hexágono

 

 

 

 

4 El volumen de una pirámide se calcula con: . Debemos calcular primero la altura de la pirámide:

 

 

 

9 Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

 

grafica tronco de piramide

 

1 La apotema coincide con la altura del trapecio lateral:

 

 

2 La altura del tronco de pirámide se calcula con el teorema de Pitágoras:

 

 

 

3 Calculamos el Perímetro, P, de la base mayor y el Perímetro, P', de la base menor:

 

 

 

4 El área lateral se obtiene con , que es equivalente a la suma de las áreas de los 4 trapecios laterales

 

 

5 Calculamos el Área, A, de la base mayor y el Área, A', de la base menor y las sumamos con el área lateral para obtener el área total

 

 

 

 

6 El volumen se calcula con

 

 

10 Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

 

grafica cono

 

1 El área lateral se calcula con

 

 

2 El área total la calculamos sumando el área lateral con el área de la base

 

 

3 El volumen se calcula con , la altura se calcula con el teorema de pitágoras

 

 

 

11 Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

 

grafica cono 2

 

1 Calculamos la generatriz con el teorema de Pitágoras:

 

 

2 Calculamos el área lateral

 

 

3 Calculamos el área total:

 

 

4 Calculamos el volumen

 

 

12 Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

 

grafica tronco de cono

 

1 Calculamos la generatriz con el teorema de Pitágoras:

 

 

2 Calculamos el área lateral

 

 

3 Calculamos el área total:

 

 

4 Calculamos el volumen

 

 

13 Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

 

grafica tronco de cono 2

 

1 Calculamos la altura con el teorema de Pitágoras:

 

 

2 Calculamos el área lateral

 

 

3 Calculamos el área total:

 

 

4 Calculamos el volumen

 

 

14 Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

 

grafica circulo

 

1 Calculamos el radio con el teorema de Pitágoras:

 

 

2 Calculamos el área

 

 

 

15 Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

 

grafica esfera inscrita en un cilindro

 

1 El radio de la esfera sería la mitad de la altura del cilindro, r=1 m, por lo que procedemos a calcular el área:

 

 

2 Calculamos el volumen:

 

 

16 Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

 

1 Una semiesfera es la mitad de una esfera por lo que su volumen sería:

 

 

17 Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

grafica casquete esferico

Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

grafica casquete esferico 2

1 El área de un casquete esférico se calcula con:

 

 

2 El volumen de un casquete esférico se calcula con:

 

 

18 Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8 cm, y la distancia entre ellas es de 6 cm.

Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8 cm, y la distancia entre ellas es de 6cm.

 

grafica zona esferica

 

1 El área de un superficie esférica se calcula con:

 

 

2 El volumen de un superficie esférica se calcula con:

 

 

19 Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?

 

1 Calculamos el volumen del cubo y de la esfera y los comparamos:

 

 

 

Ya que el volumen de la esfera es mayor que la del cubo, si cabe el agua en ella.

 

20 La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

 

1 Calculamos la superficie de la semiesfera

 

 

2 Multiplicamos la superficie por el costo de cada

 

 

21 Supongamos que tenemos un cubo de lado lleno de agua, y queremos vertirlo sobre una esfera de cierto radio. ¿Qué radio debe tener la esfera para que quepa exactamente el volumen del cubo?

El volumen de un cubo de lado es . Sea el radio de la esfera. Queremos encontrar una expresión para en términos de . El volumen de la esfera es


Entonces, queremos que se cumpla la ecuación


Entonces, despejamos para .


donde .

 

22 Si una bola de metal de 5 cm de radio tiene una masa de 2kg, ¿cuánta masa tiene una de 20cm de radio?

El volumen de la bola de 5 cm es


mientras que el volumen de una de 20cm es de


Ahora, veamos la cantidad de veces que cabe la masa de la bola pequeña en la grande:


Cada una de las bolas pesa 2kg, por lo que en total son .

 

23 Calcular el volumen del siguiente prisma trapezoidal:
trapezoide para encontrar volumen

Recordemos primero que el área de un trapezoide se calcula sabiendo la base menos, mayor, y altura. En este caso, la base mayor es de 5cm, la base menor es de 2cm, y la altura es de 6cm. Entonces, su área es de


Ahora, simplemente multiplicamos esta área por la anchura, que es de 2cm, para obtener el volumen:


 

24 Supongamos que tenemos un vaso en forma de cono de radio y altura , y lo llenamos de agua. ¿Cuántos vasos necesitamos para llenar una pecera en forma de esfera con un radio de ?

El volumen de un cono es igual a


El volumen de una esfera es de


por lo que notamos que necesitamos exactamente 4 vasos para llenar la pecera, ya que


 

25 Supongamos que tenemos un vaso en forma de cilindro de radio y altura , y lo llenamos de agua. ¿Cuántos vasos necesitamos para llenar un plato hondo en forma de media esfera de radio ?

El volumen de este cilindro es igual a


El volumen de una esfera es de


pero como necesitamos solamente la mitad de este volumen, queremos


por lo que notamos que necesitamos solamente una tercera parte (1/3) de la capacidad total del vaso, ya que


 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Mónica Villarino

cuantas medidas de diámetro y altura se deben efectuar para determinar el volumen de un cilindro con un error no mayor al 0.1%. Una medida del diámetro y altura son respectivamente 13,33 cm y 7,65 cm. Emplee la probabilidad dem 95%

Me pueden ayudar con ese ejercicio por favor

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Edgar Alexander

Cuál es el volumen de un prisma trapezoidal (4 caras son trapecios) con dos bases rectangulares?

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Miguel

Hola buenas. En el ejercicio 20 (el de la cúpula) se trata el diámetro de la semiesfera (50) como el radio. La fórmula nos dice que es (en el caso de la semiesfera) = 2 π * r². Pero en el solucionaro está puesto como 50

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Kiara

Un cilindro de gas de 48cm de h con un diametro de 20cm porfavor…… Ayudaaa

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Antonio Tapia de Superprof

Una disculpa ya se corrigió.

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ailin

Calcular la superficie y el volumen de la siguiente pirámide de apotema 8,6 cm y apotema
de la base de 2,4 cm. (Todas las medidas están en cm).

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melani

Una persona busca asesoramiento para garantizar el cuidado de una pileta.
Le indican que por cada m3 de volumen debe agregar 1 litro de producto A que viene en
presentación de galones
¿¿Si la pileta tiene 74 m3 cuantos galones deben comprarse??

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mariajose

cono con radio de 4 cm y altura de 7 cm