Bienvenidos a nuestra sección de Problemas Resueltos de Áreas. Aquí te presentamos soluciones detalladas a problemas relacionados con el cálculo de áreas en figuras geométricas comunes. Exploraremos el uso de fórmulas y métodos específicos para determinar áreas de triángulos, cuadrados, círculos y otras figuras.

Cada problema resuelto incluirá una descripción paso a paso de la estrategia utilizada, desde la identificación de datos hasta la aplicación de la fórmula correspondiente. Estos ejemplos prácticos te ayudarán a desarrollar habilidades sólidas en el cálculo de áreas y a comprender la importancia de estas medidas en contextos del mundo real.

Acompáñanos en este recorrido educativo, donde consolidarás tu conocimiento en el cálculo de áreas y ganarás confianza para enfrentar problemas geométricos con éxito.

 

1Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:

 

diagonal de un cuadrado representación gráfica

1 Calculamos la diagonal empleando el teorema de Pitágoras

 

 

2 Calculamos el perímetro

 

 

3 Calculamos el área

 

 

2Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo:

 

Diagonal de un rectángulo representación gráfica

1 Calculamos la diagonal empleando el teorema de Pitágoras

 

 

2 Calculamos el perímetro

 

 

3 Calculamos el área

 

 

3Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

 

Figura compuesta representación gráfica

1 Calculamos el lado faltante de la figura triangular, empleando el teorema de Pitágoras

 

 

2 Calculamos el perímetro sumando los lados de la figura

 

 

3 Calculamos el área

 

 

4Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:

 

Trapecio representación gráfica

1 Calculamos la altura de la figura, empleando el teorema de Pitágoras

 

 

2 Calculamos el perímetro sumando los lados de la figura

 

 

3 Calculamos el área

 

 

5Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:

 

Triangulo representación gráfica

1 Calculamos la altura de la figura, empleando el teorema de Pitágoras

 

 

2 Calculamos el perímetro de la figura

 

 

3 Calculamos el área

 


 

6Hallar el perímetro y el área del pentágono regular:

 

Pentágono representación gráfica

1 Calculamos el valor del apotema, empleando el teorema de Pitágoras

 

 

2 Calculamos el perímetro de la figura

 

 

3 Calculamos el área

 


 

7Hallar el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de cm de radio.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados, observando que al trazar segmentos del centro a los vértices se obtienen triángulos equiláteros, así el lado del hexágono es cm

 

Hexágono inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2 Calculamos el valor del apotema, empleando el teorema de Pitágoras

 

 

3 Calculamos el perímetro del hexágono

 

 

4 Calculamos el área del hexágono

 


 

8Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de cm de radio.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados, observando que al trazar segmentos del centro a dos vértices consecutivos se obtiene un triángulo rectángulo

 

Cuadrado inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2 Calculamos el valor del lado, empleando el teorema de Pitágoras

 

 

3 Calculamos el área del cuadrado

 


 

9Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio cm.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Triangulo inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2 El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto

 

 

3 Calculamos el lado del triángulo empleando el teorema de Pitágoras

 

 

4 Calculamos el área del triángulo

 


 

10Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud m.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados, observando que al trazar segmentos del centro a dos vértices consecutivos se obtiene un triángulo rectángulo con catetos igual al radio del círculo

 

El cuadrado inscrito representación gráfica

 

2 Calculamos el radio a partir de la longitud de la circunferencia

 

 

3 Encontramos el lado del cuadrado empleando el teorema de Pitágoras

 

 

4 Calculamos el área del cuadrado

 


 

11En un cuadrado de m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

figuras inscritas repetidamente representación gráfica

 

2 El radio del primer círculo inscrito es igual a la mitad del lado del cuadrado, esto es . La diagonal del segundo cuadrado es igual al diámeto del primer círculo, esto es, . Calculamos el lado del segundo cuadrado empleando el torema de Pitágoras

 

 

3 Encontramos el área del segundo cuadrado

 

 

4 El radio del segundo círculo es igual a la mitad del lado del segundo cuadrado. Calculamos el área del segundo círculo

 

 

5 El área solicitada es

 


 

12El perímetro de un trapecio isósceles es de m, las bases miden y m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Figura geométrica : trapecio representación gráfica

 

2 Calculamos los lados no paralelos a partir del perímetro

 

 

3 Encontramos la altura empleando el teorema de Pitágoras

 

 

4 El área solicitada es

 


 

13Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un
triángulo equilátero de cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura
del triángulo, calcular el área del trapecio.

1 De los datos propocionados tenemos que la base mayor es y la base menor es la mitad de la base mayor, esto es,

 

2 Calculamos la altura del triángulo empleando el teorema de Pitágoras

 

 

3 Encontramos la altura del trapecio, la cual es la mitad de la altura del triángulo

 

 

4 El área solicitada es

 


 

14El área de un cuadrado es . Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

1 Calculamos el valor del lado del cuadrado a partir de su área

 

 

2 Calculamos el perímetro del cuadrado

 

 

3 El perímetro del hexágono es , por lo que el lado del hexágono es

 

4 Representamos la figura del hexágono con los datos obtenidos y calculamos su apotema

 

Hexágono inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

 

5 Calculamos el área del hexágono

 


 

15En una circunferencia de radio igual a m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Figura geométrica : estrella representación gráfica

 

2 Calculamos el lado del cuadrado, para esto notamos que su diagonal es igual al diámetro de la circunferencia

 

 

3 Encontramos la altura de un triángulo equilátero empleando el teorema de Pitágoras

 

 

4 El área de un triángulo es

 

 

5 El área del cuadrado es

 

 

6 El área de la estrella es

 


 

16A un hexágono regular cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Corona formada por un hexágono y 2 círculos representación gráfica

 

2 El radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado del hexágono, esto es . El radio de la circunferencia inscrita es igual al apotema, la cual calculamos empleando el torema de Pitágoras

 

 

3 El área de la corona es igual a la diferencia de áreas de los círculos

 


 

17En una circunferencia una cuerda de cm dista cm del centro. Calcular el área del círculo.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Cuerda del circulo representación gráfica

 

2 El radio de la circunferencia se obtiene empleando el torema de Pitágoras

 

 

3 El área del círculo es

 


 

18Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden cm y cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Triangulo inscrito en una circunferencia con hipotenusa como diametro representación gráfica

 

2 La hipotenusa del triángulo es igual al diámetro de la circunferencia, la calculamos empleando el torema de Pitágoras

 

 

3 La longitud de la circunferencia es

 

 

3 El área del círculo es

 


 

19Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un cuadrado de m de diagonal.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Semi corona con circunferencia inscrita representación gráfica

 

2 El radio de la circunferencia circunscrita es igual a la mitad de la diagonal del cuadrado, esto es . El radio de la circunferencia inscrita es igual a la mitad del lado del cuadrado, le cual calculamos empleando el torema de Pitágoras

 

 

3 El área de la corona es igual a la diferencia de áreas de los círculos

 


 

20Sobre un círculo de cm de radio se traza un ángulo central de . Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une
los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Triangulo equilátero inscrito en una circunferencia representación gráfica

 

2 Calculamos el área del sector

 

 

3 El triángulo que se forma es equilátero, y calculamos su altura empleado el teorema de Pitágoras

 

 

4 Calculamos el área del triángulo

 

 

5 El área solicitada es igual a la diferencia de áreas

 


 

21Dado un triángulo equilátero de m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

1 Representamos la figura con los datos proporcionados

 

Triangulo equilátero circunscrito en la circunferencia representación gráfica

 

2 Calculamos la altura del triángulo equilátero empleando el teorema de Pitágoras

 

 

3 El centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:

 

 

4 Calculamos el área del sector de

 


 

22 Encuentra el área de un cuadrilátero convexo de perímetro con círculo circunscrito de radio .

1 Representemos los datos en una imágen:
encontrar el area del cuadrilatero sabiendo su perimetro y radio de circulo circunscrito
2
Ahora, notemos que al área del cuadrilátero se puede separar en 4 triángulos con vértice común el centro del círculo. Cada uno de estos triángulos tiene área igual a un medio de su altura (en este caso el radio) por su base (en este caso corresponde a los lados del cuadrilátero). Entonces, tenemos


 

23 Resuelve los siguientes problemas.

1 Encuentra el área de un cuadrilátero convexo de perímetro con círculo circunscrito de radio .

2 Encuentra el área de un cuadrilátero convexo de perímetro con círculo circunscrito de radio .

1
Utilizando el problema 22, notamos que el área se calcula mediante , donde es el perímetro, y el radio del círculo. Entonces, .
2 Directamente utilizando la fórmula, obtenemos .


 

24 Encuentra el área de un cuadrilátero convexo de lados .

1 Representemos los datos en una imágen:

encontrar area de cuadrilatero a partir de sus lados

2 Ahora, notemos que el área total se puede separar en 2 triángulos . Para cada uno de ellos, podemos utilizar la fórmula de Herón. El semiperímetro de cada uno es

Entonces, sus áreas son

y por lo tanto su suma nos da el área del cuadrilátero:


 

25 Encuentra el área de una Triqueta:

encontrar area de una triqueta

1 Dibujemos más líneas para simplificar el área:

encontrar area de una triqueta

2 Notemos que podemos separar la región en 2 tipos de partes: en un triángulo equilatero de lado el diámetro de un círculo, es decir, , y seis sectores circulares. El área del triángulo es

Ahora, los sectores circulares tienen área que depende del ángulo. En este caso, los ángulos son todos iguales y corresponden a ese de un triángulo equilatero, que es de radianes. Entonces, el área de cada uno de ellos es

Entonces, multiplicamos esto por 6 para obtener el total de todos los 6 sectores, y al final sumamos el área del triángulo para obtener el área total de la triqueta:


 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗