1Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

1Representamos gráficamente el cuadrado

 

problemas de areas 1

 

2Su perímetro es . Para calcular el área empleamos

 

 

3El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, por lo que si su perímetro es de , entonces cada uno de sus lados mide

 

problemas de areas 2

 

4Para encontrar el área requerimos conocer su altura, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

5Para calcular su área, empleamos

 

 

Así, ambas figuras tienen el mismo perímetro, pero distinta área.

 

2Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio .

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 3

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto y se obtiene

 

 

3Para encontrar el área del triángulo requerimos conocer su base, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

4Para calcular su área, empleamos

 

 

3Dado un triángulo equilátero de de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 4

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto y se obtiene

 

3Para encontrar el radio, necesitamos conocer la altura, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

4Calculamos el radio

 

 

5Así, el área solicitada es

 

 

4Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud .

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 5

 

2Necesitamos conocer un lado del cuadrado, para esto primero calculamos el radio a partir de conocer la circunferencia

 

 

3Para encontrar el lado del cuadrado, consideramos el triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales son los radios de la circunferencia

 

 

4Así, el área del cuadrado es

 

 

5En un cuadrado de de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 6

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el lado del cuadrado de lado es igual al diámetro del círculo inscrito

 

 

3El díámetro del primer círculo es igual a la diagonal del segundo cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos el lado del segundo cuadrado

 

 

4Así, el área del segundo cuadrado es

 

 

5El diámetro del segundo círculo es igual al lado del segundo cuadrado

 

 

6El área el segundo círculo es

 

 

7Así, el área solicitada es

 

 

6Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de de diagonal.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 7

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia circunscrita es igual a la diagonal del cuadrado

 

 

3El díámetro de la circunferencia inscrita es igual al lado del cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos

 

 

4El área de la corona circular es

 

 

7En una circunferencia de radio igual a se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 8

 

2Necesitamos conocer el lado del cuadrado; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia es igual a la diagonal del cuadrado. aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

 

3El área del cuadrado es

 

 

4Para encontrar el área del triángulo equilátero, dividimos en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar la altura

 

 

5El área del triángulo es

 

 

6El área de la estrella es

 

 

8El perímetro de un trapecio isósceles es de , las bases miden y respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 9

 

2 Como las bases suman , entonces los lados suman , luego cada lado mide . Para conocer la altura construimos un triángulo rectángulo como en la figura. empleando el teorema de Pitágorasse tiene

 

 

3Calculamos el área del trapecio

 

 

9Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 10

 

2 Para conocer la altura del triángulo, construimos un triángulo rectángulo cuya base es la mitad de su altura. Empleando el teorema de Pitágoras se tiene

 

 

3Calculamos la altura del trapecio

 

 

4Calculamos el área del trapecio

 

 

10El área de un cuadrado es . Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 11

 

2 Para conocer el perímetro del cuadrado, debemos calcular el valor de uno de sus lados

 

 

3Calculamos la apotema del hexágono, para ello requerimos el lado del hexágono

 

 

4Calculamos el área del hexágono

 

 

11La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 11

 

2 Para conocer el área de la mesa, necesitamos encontrar el área del cuadrado y del círculo

 

3Calculamos el área del cuadrado

 

 

4Calculamos el área del círculo de radio

 

 

5El área de la mesa es

 

 

12Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo el radio de la circunferencia.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 13

 

2 Para conocer el área del sector señalado en verde, basta observar que el círculo se divide en tres sectores iguales de

 

3Calculamos el área del círculo

 

 

4Calculamos el área del sector círcular

 

 

13Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo el radio de la circunferencia.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 14

 

2 Para conocer el área del sector señalado en verde, basta observar que el círculo se divide en cuatro sectores iguales de

 

3Calculamos el área del círculo

 

 

4Calculamos el área del sector círcular

 

 

14Dadas dos circunferencias concéntricas de radio y respectivamente, se trazan los radios y , que forman un ángulo de . Calcular el área del trapecio circular formado.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de areas 15

 

2 Para conocer el área del sector señalado en verde, basta observar que el círculo se divide en seis sectores iguales de

 

3Calculamos el área de cada círculo

 

 

 

4Calculamos el área de cada sector

 

 

 

5Calculamos el área del trapecio circular

 

 

15problemas de areas 16Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es y el radio del círculo mide .

1Calculamos el área del cuadrado

 

 

2 Calculamos el área del círculo

 

 

3Calculamos el área sombreada

 

 

16problemas de areas 17 Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide y el radio de los círculos pequeños miden .

1Calculamos el área del círculo mayor

 

 

2 Calculamos el área del círculo pequeño

 

 

3Calculamos el área sombreada

 

 

17problemas de areas 18 Calcula el área de la parte sombreada, siendo , un cuadrado y y arcos de circunferencia de centros y .

1La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares:

 

problemas de areas 19

 

problemas de areas 20

 

2 Calculamos el área del sector

 

 

3Calculamos el área del triangulo

 

 

4Calculamos el área del segmento circular

 

 

5El área sombreada es

 


¿Y si pruebas con un profesor particular matematicas?

 

18A un hexágono regular de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1Representamos gráficamente

 

problemas de areas 21

 

2 Calculamos el radio de la circunferencia circunscrita, para esto observamos que el hexágono se divide en seis triángulos equiláteros iguales, por lo que

 

 

3Calculamos el radio de la circunferencia inscrita, este coincide con la altura del triángulo equilátero

 

 

4Calculamos el área de la corona circular, la cual se obtiene a partir de la diferencia de áreas de los círculos

 

 

19En una circunferencia una cuerda de y dista del centro. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

problemas de areas 22

 

2 Consideramos el triángulo rectángulo como se muestra en la figura y empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

 

3Calculamos el área del círculo

 

 

20Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden y respectivamente. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

problemas de areas 23

 

2 La hipotenusa concide con el diámetro del círculo. Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

 

3Calculamos el área del círculo

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗