1La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide y la proyección de un cateto sobre ella . Hallar el cateto .

1 Representamos gráficamente el problema

 

triangulo

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes por lo que se obtiene

 

 

3 Resolviendo para se tiene

 

 

4 Como las distancias no pueden ser negativas, el valor del cateto solicitado es

 

 

2 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden y metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 2

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes por lo que se obtiene

 

 

3 Resolviendo para se tiene

 

 

4 Como las distancias no pueden ser negativas, el valor solicitado es

 

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3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide y la proyección de un cateto sobre ella . Calcular los catetos y la altura relativa a la hipotenusa.

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 3

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes, como la hipotenusa es y la proyección de un cateto es , tenemos que

 

 

3 Para el cateto se tiene

 

 

4 Para el cateto se tiene

 

 

5 Para la altura relativa a la hipotenusa se tiene

 

 

 

4 Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es y la altura relativa de la misma .

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 4

 

2 Observamos que se obtienen dos triángulos equivalentes, por lo que tenemos que

 

 

Así, la hipotenusa mide

 

 

3 Para el cateto se tiene

 

 

4 Para el cateto se tiene

 

 

5 Así, los lados del triángulo son:

 

 

5Una escalera de de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

1 Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 5

 

2 Observamos que la altura de la escalera sobre la pared se obtiene con el teorema de Pitágoras

 

 

3 Así, la atura solicitada es

 

 

6Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

1Representamos gráficamente el cuadrado

 

problemas de triangulos 6

 

2Su perímetro es . Para calcular el área empleamos

 

 

3El triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, por lo que si su perímetro es de , entonces cada uno de sus lados mide

 

problemas de triangulos 6.5

 

4Para encontrar el área requerimos conocer su altura, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

5Para calcular su área, empleamos

 

 

Así, ambas figuras tienen el mismo perímetro, pero distinta área.

 

7Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio .

1Representamos gráficamente el problema

 

triangulo circunscrito

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto y se obtiene

 

 

3Para encontrar el área del triángulo requerimos conocer su base, para esto dividimos el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

4Para calcular su área, empleamos

 

 

8Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud .

1Representamos gráficamente el problema

 

cuadrado circunscrito

 

2Necesitamos conocer un lado del cuadrado, para esto primero calculamos el radio a partir de conocer la circunferencia

 

 

3Para encontrar el lado del cuadrado, consideramos el triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales son los radios de la circunferencia

 

 

4Así, el área del cuadrado es

 

 

9En un cuadrado de de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 9

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el lado del cuadrado de lado es igual al diámetro del círculo inscrito

 

 

3El díámetro del primer círculo es igual a la diagonal del segundo cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos el lado del segundo cuadrado

 

 

4Así, el área del segundo cuadrado es

 

 

5El diámetro del segundo círculo es igual al lado del segundo cuadrado

 

 

6El área el segundo círculo es

 

 

7Así, el área solicitada es

 

 

10El perímetro de un trapecio isósceles es de , las bases miden y respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

1Representamos gráficamente el problema

 

trapecio

 

2 Como las bases suman , entonces los lados suman , luego cada lado mide . Para conocer la altura construimos un triángulo rectángulo como en la figura. empleando el teorema de Pitágorasse tiene

 

 

3Calculamos el área del trapecio

 

 

11Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

1Representamos gráficamente el problema

 

trapecio en triangulo

 

2 Para conocer la altura del triángulo, construimos un triángulo rectángulo cuya base es la mitad de su altura. Empleando el teorema de Pitágoras se tiene

 

 

3Calculamos la altura del trapecio

 

 

4Calculamos el área del trapecio

 

 

12El área de un cuadrado es . Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

1Representamos gráficamente el problema

 

hexagono circunscrito

 

2 Para conocer el perímetro del cuadrado, debemos calcular el valor de uno de sus lados

 

 

3Calculamos la apotema del hexágono, para ello requerimos el lado del hexágono

 

 

4Calculamos el área del hexágono

 

 

13En una circunferencia de radio igual a se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 13

 

2Necesitamos conocer el lado del cuadrado; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia es igual a la diagonal del cuadrado. aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

 

3El área del cuadrado es

 

 

4Para encontrar el área del triángulo equilátero, dividimos en dos triángulos rectángulos y aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrar la altura

 

 

5El área del triángulo es

 

 

6El área de la estrella es

 

 

14A un hexágono regular de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

1Representamos gráficamente

 

problemas de triangulos 14

 

2 Calculamos el radio de la circunferencia circunscrita, para esto observamos que el hexágono se divide en seis triángulos equiláteros iguales, por lo que

 

 

3Calculamos el radio de la circunferencia inscrita, este coincide con la altura del triángulo equilátero

 

 

4Calculamos el área de la corona circular, la cual se obtiene a partir de la diferencia de áreas de los círculos

 

 

15En una circunferencia una cuerda de y dista del centro. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

circulo

 

2 Consideramos el triángulo rectángulo como se muestra en la figura y empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

 

3Calculamos el área del círculo

 

 

16Los catetos de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia miden y respectivamente. Calcular el área del círculo.

1Representamos gráficamente

 

circunferencia y triangulo

 

2 La hipotenusa concide con el diámetro del círculo. Empleando el teorema de Pitágoras, calculamos el radio

 

 

3Calculamos el área del círculo

 

 

17Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de de radio.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 17

 

2Consideramos el triángulo rectángulo de lado , hipotenusa y lado restante . Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene

 

 

 

18Sobre un círculo de de radio se traza un ángulo central de . Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

1Representamos gráficamente el problema

 

triangulo inscrito en un circulo

 

2El área del sector es

 

 

3Para encontrar la altura del triángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

4Calculamos el área del triángulo equilátero

 

 

5El área del segmento circular es

 

 

19Dado un triángulo equilátero de de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 19

 

2El centro de la circunferencia es el baricentro, por tanto

 

3Para encontrar la altura del triángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras

 

 

4Calculamos el radio

 

 

5El área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices es

 

 

20Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de de diagonal.

1Representamos gráficamente el problema

 

problemas de triangulos 20

 

2Necesitamos conocer los radios de los círculos; para esto observamos que el diámetro de la circunferencia circunscrita es igual a la diagonal del cuadrado

 

 

3El díámetro de la circunferencia inscrita es igual al lado del cuadrado, aplicando e teorema de Pitágoras obtenemos

 

 

4El área de la corona circular es

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗