Enunciado del Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece lo siguiente:
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Del enunciado anterior se desprende la siguiente fórmula con la cual podemos calcular la magnitud de cada una de los lados de un triángulo rectángulo
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Calculando la hipotenusa.
1 Conociendo los dos catetos podemos calcular la hipotenusa, solo debemos despejar la variable de la ecuación
Lo hacemos simplemente sacando raíz cuadrada
En este caso tenemos que y debemos encontrar el valor de
Reemplazando en la fórmula anterior
Por tanto la hipotenusa mide
Calculando un cateto.
2 Conociendo la hipotenusa y un cateto, podemos calcular el otro cateto.
De nuestra ecuación inicial podemos despejar el valor de uno de los catetos y obtenemos lo siguiente para el cateto
y para el cateto
Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide y uno de sus catetos ¿Cuánto mide otro cateto?
De acuerdo con la figura, tenemos que el cateto mide , la hipotenusa y hace falta encontrar el cateto . Así pues, utilizando la fórmula para calcular catetos,
Por lo tanto el cateto mide
Clasificar triángulos rectángulos.
3. Conociendo los lados de un triángulo, podemos averiguar si es rectángulo o no.
Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.
Ejemplo: Determinar si el siguiente triángulo es rectángulo.
Notemos que el lado mayor de este triángulo tiene longitud Continuando con la indicación anterior, habremos de verificar las siguientes igualdades
Ya que obtenemos el mismo resultado en ambos lados de la igualdad, podemos concluir que el triángulo es rectángulo.
Ejercicios
1Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
2Hallar el área del triángulo equilátero:
Dado que el área de un triángulo se obtiene a través de la fórmula
Observemos ahora, que la base del triángulo es de y la altura de
Luego, remplazando en la fórmula del área se sigue que
3Hallar la diagonal del cuadrado:
Para ello utilizaremos la fórmula para la hiptenusa:
Finalmente, la diagonal mide
4Hallar la diagonal del rectángulo:
Por lo tanto, la diagonal tiene longitud
5Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
Finalmente podemos calcular el perímetro, el cual sabemos que es igual a la suma
Para obtener el área hay que observar que el trapecio está conformado por un triángulos rectángulos y un rectángulo, entonces su área será igual a la suma de las áreas del triángulo y el rectángulo. Es decir,
El área del rectángulo es sencillamente el producto de su base por su altura, entonces Para el área del triángulo tenemos que
Por lo tanto
6El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
De esta forma hemos resuelto la primera parte del problema.
Recordemos que el área del trapecio es igual a la suma de las bases, multiplicadas por la altura y luego esto se divide entre dos. Así que debemos calcular la altura del trapecio, que llamaremos
De la figura podemos considerar el triángulo rectángulo de catetos e hipotenusa Luego, para hallar el valor de , utilizaremos la fórmula para calcular los catetos,
Ahora podemos concluir calculando el área del trapecio,
7Hallar el área del pentágono regular:
El valor del perímetro del pentágono es
Finalmente, podemos calcular el área del pentágono
8Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
.
Por lo tanto, como el área del cuadrado es se sigue que es igual a
9En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
Así, el area del círculo es
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Será que me pueden ayudar en este problema de encontrar el cateto » a» en un triángulo rectángulo donde la hipotenusa mide 4 cm y el cateto «B» mide 3 cm , ayudaaaa
gracias por su tarea
GRACIAS POR SEMEJANTE TRABAJO, CREATIVO Y MUY BIEN ESTRUCTURADOS LOS PROBLEMAS
Quisiera si me pueden ayudar a resolver estos problemas : Hallar el area de la interseccion de los circulos . x2 +y2 = 9 y x2 +y2 =6x y otro es; Hallar la ongitud del arco de la curva a) x = 1/2 y elevado la 2 – i/4 desde y=1 hasta y = e b) (y +1)elevado a la 2 = 4x elevado a la 3 desde (0,,0) hasta (1.5)
longitud y perímetro con los datos r=14.5cm \theta =(3)/(4\pi )
los puntos A, B, C, D, E y F de la circunferencia de centro O y
4cm de radio determinan seis arcos congruentes. Hola profesor, ¿usted me puede ayudar con ese problemas?
El perímetro o longitud de un CD (disco compacto de forma circular) es 42𝜋
2 +8𝜋 − 4 𝑐𝑚, hallar el polinomio
que representa el valor del radio (segmento de recta que va del centro de la circunferencia a cada uno de los
puntos de esta). Teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia (C)= 2π r, por lo tanto se debe despejar
el radio (r).
CUAL ES EL AREA Y EL PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA QUE SE ENCUENTRA DENTRO DE UN CUADRADO DE 10 CM DE LADO
Un parque tiene la forma que aparece en la siguiente gráfica.
En el centro hay un lago circular de 18 m de diámetro y en cada uno de los círculos pequeños de 40 dm de radio hay un árbol. El resto del parque corresponde a la zona verde que pueden disfrutar los visitantes. ¿Qué área del parque es zona verde?
Hola me pueden ayudar con un ejercicio