¡Bienvenidos a nuestra sección de Ejercicios sobre la Circunferencia y el Círculo!

En esta serie de ejercicios, exploraremos las propiedades y conceptos fundamentales relacionados con la circunferencia y el círculo, dos elementos clave en la geometría. Estas figuras geométricas no solo son esenciales en sí mismas, sino que también tienen aplicaciones prácticas en diversos campos, desde la física hasta la ingeniería y más allá.

A través de estos ejercicios, te sumergirás en la comprensión de temas como el cálculo del perímetro y área de un círculo, la relación entre la circunferencia y el diámetro, el uso de fórmulas fundamentales y la resolución de problemas prácticos que involucran circunferencias y círculos.

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Vamos

Cálculo de distancia

 

1La rueda de un camión tiene cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado vueltas?

Dado que el radio de la rueda es   entonces su diámetro es  .Por otro lado, recordemos que el perímetro representa la longitud de la circunferencia, y esto equivale a lo que el camión recorre al dar una vuelta. Considerando esto tenemos que el perímetro de la rueda es .Finalmente, dado que nos interesa saber la distancia  recorrida del camión durante 100 vueltas, entonces:.

 

2Un faro barre con su luz un ángulo plano de . Si el alcance máximo del faro es de millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?

Recordemos que si un arco de longitud de una circunferencia de radio subtiende un ángulo central de radianes, entonces .  Esta fórmula es la que se utilizará para resolver el problema planteado, sin embargo necesitamos el ángulo en radianes, es decirLuego, la longitud de arco esEn este problema consideremos que  ya que esta es la unidad de longitud utilizada en navegación marítima y aérea.  Por lo tanto la longitud en metros del arco es: 

Cálculo de área


 

3La longitud de una circunferencia es  cm. ¿Cuál es el área del círculo?

La longitud de la circunferencia representa el perímetro de la misma, el cual se calcula con la fórmula siguiente:,donde representa el radio del círculo. Podemos reescribir la expresiónde la manera siguiente:

 

El área del círculo se calcula con la fórmula:

 

 

Si  sustituyimos el valor de obtenido previamente obtenemos:

 

 

Finalmente considerando el valor numérico de , el área del círculo es:

 

 

 


 

4El área de un sector circular de es . Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

La fórmula para calcular el área de un sector circular esdonde representa el número de grados es el radio asociado del sector circular.

 

De esta expresión tenemos:

 

 

Luego, sustituyendo los valores numéricos del problema, tenemos que el radio del círculo al que pertenece el sector circular es

 

 

Finalmente, la longitud de la circunferencia (perímetro) es

 

 

 

5Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo  cm el radio de la circunferencia.

La fórmula para calcular el área de un sector circular es:,donde   es el número de grados  es el radio asociado del sector circular.

 

Dado que los ángulos internos de un triángulo equilátero miden todos , y considerando que el vértice del ángulo central del arco coincide con el centro de la circunferencia (ver figura), este ángulo mide

 

grafica de circunferencia y triangulo equilatero

 

El área del sector circular es:

 

 


 

6Dadas dos circunferencias concéntricas de radio y respectivamente, se trazan los radios y , que forman un ángulo de . Calcular el área del trapecio circular formado.

El área del trapecio circular formado (ver figura) se puede calcular así:donde representa el área del sector circular de la circunferencia externa (cuyo radio es ), mientras que representa el área del sector circular de la circunferencia interna (cuyo radio es ). Por lo tanto 

 

grafica circunferencias concentricas
Luego, sustituymos los valores numéricos en la fórmula y obtenemos el área:


 

7En un parque de forma circular de de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

La Figura muestra en color gris el área correspondiente a la zona de paseo. Esta zona corresponde al área delimitada por dos circunferencias concéntricas, es decir, una corona circular.El área de una corona circular se calcula como sigue: 

donde  es el radio mayor (radio externo)

es el radio menor (radio interno).
representacion grafica de corona circular representando un parque en problema matematica

 

Ahora bien,  de los datos del problema tenemos:
Por lo tanto, el área de la zona de paseo en el parque es:


 

8La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

Dado que la parte central de la mesa es un cuadrado, entonces los dos semicírculos laterales son iguales y forman un solo círculo  con diámetro (ver figura).
representacion gradica de una circunferencia de mesa en problema de matematicas

El área de la mesa es
   es la longitud de la mesa
es el diámetro del círculo.
Sustituyendo valores numéricos, obtenemos el área de la mesa:


 

9Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide y el radio de los círculos pequeños miden .
grafica de circunferencia con circulos

De acuerdo a la figura geométrica dada, el área sombreada se calcula como es el área del círculo mayor de radio

 

 es el área de cada uno de los círculos pequeños de radio

 

Por lo tanto, tenemos que

 

.

Finalmente sustituyendo los valores numéricos, se tiene que el área de la parte sombreada es:


 

10Calcula el área de la parte sombreada, siendo , un cuadrado y y arcos de circunferencia de centros y .

grafica de segmento circularrepresentación gráfica de segmento circular dentro de un cuadrado Dado que ambos segmentos circulares son iguales, sin perdida de generalidad podemos analizar cualquiera de estos. Note que cada segmento circular consta de un triángulo isósceles y un sector circular cuya apertura es . Por lo tanto, 

Finalmente sustituyendo datos numéricos en la expresión anterior, el área de 1 segmento circular es

 

 

y el área sombreada buscada entonces es

 

 


 

11Un satélite de comunicaciones orbita la Tierra en un ángulo de 45° respecto al ecuador. Si la altura del satélite es de 10,000 kilómetros, ¿cuál es la longitud máxima en kilómetros de la trayectoria que cubre en su órbita?

satelite alrededor de la tierra para calcular distancia
La longitud de la trayectoria del satélite en su órbita se puede calcular con la fórmula del arco de un círculo. Esto se puede apreciar en la figura, ya que el satélite recorre un camino circular de radio constante. La fórmula es


donde es la distancia del centro de la tierra hasta el satélite, es el ángulo en radianes. Recordemos que 45° es equivalente a radianes. Por lo tanto, el satélite recorre



 

12Una noria tiene un radio de 15 metros. Si la noria da 3 vueltas completas, ¿cuánto ha recorrido un pasajero a lo largo de la circunferencia?

La distancia recorrida por el pasajero en la noria se puede calcular usando la circunferencia de la rueda y el número de vueltas. Es decir,



 

13Una bicicleta con ruedas de 26 cm de diámetro recorre 5 km. ¿Cuántas vueltas completas ha dado cada rueda durante este recorrido?

Recordemos que si son las vueltas recorridas y el diámetro, respectivamente, la distancia total recorrida se puede calcular mediante


Como concemos la distancia total recorrida, debemos despejar para :



 

14 Un pastel circular se corta en 8 porciones iguales. Si el pastel tiene un radio de 20 centímetros, ¿cuánto mide el arco de cada porción? ¿Cuánta área tiene la parte superior del pastel?

Para calcular el ángulo, simplemente debemos partir en 8 partes. Por lo que cada rebanada es


del sector completo. Como tiene un radio de 20 cm, tenemos que el área de este sector es de



 

15 ¿Qué radio debe tener una rueda para darle una vuelta completa por el ecuador a la Tierra en 3 revolución?

Primero calculamos la distancia que tiene el ecuador de la Tierra: sabemos que tiene un radio de 6378 km hasta el ecuador. Esto nos dice que debemos recorrer


en 3 revoluciones. Es decir, queremos que el radio de nuestra rueda sea tal que . Entonces,


debe ser lo que mide la circunferencia. Por lo que el radio debe ser


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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗