La parábola es una colección infinita de puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta fija y un punto fijo en el plano. La definición anterior también es conocida como el lugar geométrico de la parábola.
La parábola contiene elementos característicos como la directriz y el foco, que son la recta y el punto, ambos fijos mencionados en la definición. También posee un vértice el cual es el punto más cercano a la directriz y el foco.
En los siguientes problemas y ejercicios trabajamos dos modalidades: obtenemos los elementos de la parábola a partir de conocer su ecuación, y si conocemos los elementos de la parábola obtenemos su ecuación.
Obtener los elementos de la parábola
1 Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
El parámetro es
Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen
El término cuadrático en la ecuación es la 
así que el eje de la parábola coincide con el eje OX. Además, la parábola se encuentra en el lado positivo del eje OX, ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la 
) es 8 que es positivo, por lo que
La gráfica de la parábola es
2 Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
El parámetro es
Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola coincide con el eje OX. Además, la parábola se encuentra en el lado negativo del eje OX, ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es -8 que es negativo, por lo que
La gráfica de la parábola es
3 Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
El parámetro es
Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola coincide con el eje OY. Además, la parábola se encuentra en el lado positivo del eje OY, ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 8 que es positivo, por lo que
La gráfica de la parábola es
4 Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
El parámetro es
Se trata de una ecuación reducida por lo que el vértice está en el origen
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola coincide con el eje OY. Además, la parábola se encuentra en el lado negativo del eje OY, ya que el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 8 que es negativo, por lo que
La gráfica de la parábola es
5 Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
El parámetro es
No se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola es paralelo al eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 8 que es positivo, por lo que el foco está al lado derecho del vértice
La gráfica de la parábola es
6 Dada la parábola 
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
El parámetro es
No se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola es paralelo al eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 8 que es positivo, por lo que el foco está al lado derecho del vértice
La gráfica de la parábola es
7 Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
Despejamos el término 
El parámetro es
Se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en el origen
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola coincide con el eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 2 que es positivo, por lo que el foco está al lado derecho del vértice
La gráfica de la parábola 
es
2 
Despejamos el término
El parámetro es
Se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en el origen
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola coincide con el eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 
que es negativo, por lo que el foco está al lado izquierdo del vértice
La gráfica de la parábola es
3 
Despejamos el término 
El parámetro es
Se trata de una ecuación reducida, por lo que el vértice está en el origen
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola coincide con el eje OY. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 
que es negativo, por lo que el foco está abajo del vértice
La gráfica de la parábola 
es
8 Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:
Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de la directrices de las parábolas:
1 
Completamos el cuadrado
Simplificamos
Despejamos
El parámetro es
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola es paralelo al eje OX. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 8 que es positivo, por lo que el foco está al lado derecho del vértice
2 
Completamos el cuadrado
Simplificamos
Despejamos
Entonces,
El parámetro es
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola es paralelo al eje OY. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 6 que es positivo, por lo que el foco está más arriba del vértice
3 
Completamos el cuadrado
Simplificamos
Despejamos
El parámetro es
El término cuadrático en la ecuación es la así que el eje de la parábola es paralelo al eje OY. Además, el coeficiente que acompaña al término no cuadrático (en este caso la ) es 1 que es positivo, por lo que el foco está más arriba del vértice
Obtener la ecuación de la parábola
9 Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
- De directriz
, de foco 
. - De directriz
, de vértice 
. - De directriz
, de foco 
. - De directriz
, de foco 
. - De foco
, de vértice . - De foco
, de vértice 
. - De foco
, de vértice 
. - De foco
, de vértice 
.
Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
1 De directriz , de foco .
Primero calculamos la distancia entre el foco y la directriz y así obtener el parámetro 
.
Como el foco se encuentra sobre el eje OX, la directriz es paralela al eje OY, y son equidistantes al origen, se trata de una ecuación reducida,
Entonces, como el eje coincide con el eje OX y el foco está más a la derecha que el vértice, la ecuación está dada por
2 De directriz , de vértice .
Primero calculamos la distancia entre el vértice y la directriz y así obtener 
.
Notamos que el vértice está en el origen y la directriz es paralela al eje OX, así que se trata de una ecuación reducida.
Como el eje coincide con el eje OY y el foco está más abajo que el vértice, la ecuación será
3 De directriz , de foco .
Primero calculamos la distancia entre el foco y la directriz y así obtener el parámetro .
Notamos que la directriz es paralela al eje OX, y que el foco está sobre el eje OY, y son equidistantes al origen, así que se trata de una ecuación reducida.
Como el foco está más arriba que la directriz, la ecuación será
4 De directriz , de foco .
Primero calculamos la distancia entre el foco y la directriz y así obtener el parámetro .
Notamos que la directriz es paralela al eje OY, y que el foco está sobre el eje OX, y son equidistantes al origen, así que se trata de una ecuación reducida.
Como el foco está más a la izquierda que la directriz, la ecuación será
5 De foco , de vértice .
Primero calculamos la distancia entre el foco y el vértice y así obtener el parámetro .
Notamos que la directriz es paralela al eje OY, y que el foco está sobre el eje OX, y son equidistantes al origen, así que se trata de una ecuación reducida.
Como el foco está más a la derecha que la directriz, la ecuación será
6 De foco , de vértice .
Primero calculamos la distancia entre el foco y la directriz y así obtener .
Notamos que la directriz es paralela al eje OY.
Como el foco está más a la izquierda que el vértice, la ecuación será
7 De foco , de vértice .
Primero calculamos la distancia entre el foco y el vértice y así obtener .
Notamos que la directriz 
y es paralela al eje OX.
Como el foco está más arriba que el vértice, la ecuación será
8 De foco , de vértice .
Primero calculamos la distancia entre el foco y el vértice y así obtener el parámetro .
Notamos que la directriz es paralela al eje OY.
Como el foco está más a la izquiera que el vértice, la ecuación será
10 Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y pasa por el punto , siendo su eje OX.
Como su vértice es el origen, y su eje coincide con el eje OX del plano, su ecuación es de forma reducida, en particular es
Pasa por el punto (3,4), así que sus coordenadas cumplen la ecuación anterior, es decir,
Dividimos entre 3
Así, la ecuación queda
11 Escribe la ecuación de la parábola de eje paralelo a OY, vértice en OX y que pasa por los puntos 
y 
.
Del problema sabemos que
Como la curva pasa por los puntos A y B sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de la parábola,
Tomamos la primera ecuación y la multiplicamos por 4, obtenemos:
Le restamos la segunda ecuación es decir, la sumamos con el negativo
Y así obtener
Simplificamos dividiendo todo entre 3
Las dos soluciones de me brindan dos soluciones de ecuaciones de parábolas distintas.
12 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: 
y por foco el origen de coordenadas.
a la directriz debe ser igual a la distancia de ese punto al foco, es decir 
Elevamos al cuadrado para deshacernos de la raíz
13 Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: 
, 
, 
.
Si pasa por los puntos A, B y C, sus coordenadas cumplen la ecuación anterior
Resolviendo el sistema de 3 incógnitas obtenemos que
Finalmente
14 Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: 
y por foco el punto 
.
Finalmente la ecuación parabólica que obtengo es:
15 Calcular la posición relativa de la recta 
respecto a la parábola 
.
Desarrollamos
Resolvemos
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
En el ejercicio número 7 hay un error. El las coordenadas de los focos aparece una “a” cuando debería ser “c”.
Una disculpa ya se corrigió.
encuentra en las coordenadas de los vértices y de los focos las longitudes de los ejes mayor y menor la distancia focal la longitud de cada uno de los lados rectos y la excentricidad de cada una de las elipses cuyas ecuaciones se dan a continuacion x^2/ 25+y^2/9=1
Halla la ecuacion de la parabola ordinaria general con elementos si su vertice está en (4,5) y su foco (7,5)
Dada la ecuación de la parábola. X2-8x-10y-4. Transformala en su forma ordinaria y comprueba su grafica con la de la figura
Determine si la gráfica de cada uno de las siguientes ecuaciones es una circunferencia,un punto o el conjunto vacío; si es la gráfica de una circunferencia dé el centro y el radio .
6×2+6y2-14x+7y-20=0
X2+y2+4x-2y+10=0
X2+y2+18x-20y+100=0
3×2+3y2-x-2y-1=
¿Cómo los puedo citar?
Puedes citar al grupo Superprof directamente 🙂
Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto A(2,6)
Hallar la ecuación y elaborar la grafica
Qué condiciones debe cumplir “A” para que la ecuación: x2 + y2 + Ax – Ay – A2 = 0 tenga como gráfica una circunferencia? Dé las coordenadas del centro y el valor del radio.