La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.

 

Grafica con elementos de la hipérbola

En la gráfica anterior, esto significa que para cualquier punto de la hipérbola.
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Vamos

Elementos de la hipérbola

 

1Focos: Son los puntos fijos y .

2Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .

4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

5Vértices: Los puntos y son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

6Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: y .

7Distancia focal: Es el segmento de longitud .

8Eje mayor: Es el segmento de longitud .

9Eje menor: Es el segmento de longitud .

Los puntos y se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio .

10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

11Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:

12Relación entre los semiejes:

Excentricidad

La excentricidad es un parámetro que indica la abertura mayor o menor de las ramas de la hipérbola. Este número, en el caso de las hipérbolas, siempre es mayor que 1.

 

 

Ecuación reducida de la hipérbola

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

 

 

y la ecuación de la hipérbola reducida es

 

 

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

 

 

y la ecuación de la hipérbola en este caso es

 

 

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola es y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas

 

 

Y la ecuación de la hipérbola será:

 

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

 

 

Donde y tienen signos opuestos.

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen

Si el centro de la hipérbola y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas

 

 

Y la ecuación de la hipérbola será:

 

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

 

 

Donde y tienen signos opuestos.

Ecuación de la hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, por tanto . Y su ecuación es:

 

 

Las asíntotas tienen por ecuación:

 

 

Es decir, son las bisectrices de los cuadrantes. Además, la excentricidad es

 

 

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asíntotas, bastará dar un giro de −45° alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuación como:

 

 

Si efectuamos un giro de 45° en los ejes, la hipérbola que queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗