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Vamos

Hipérbola y sus elementos

Comencemos recordando un poco acerca de la hipérbola. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto.

Hipérbola
Elementos de una hipérbola.

En la gráfica anterior, significa que para cualquier punto de la hipérbola.

Elementos de la hipérbola

1Focos: son los puntos fijos y .

2Eje focal, principal o real: es la recta que pasa por los focos.

3Eje secundario o imaginario: es la mediatriz del segmento .

4 Centro: es el punto de intersección de los ejes.

5 Vértices: los puntos y son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

6Radios vectores: son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: y .

7Distancia focal: es el segmento de longitud .

8Eje mayor: es el segmento de longitud .

9Eje menor: es el segmento de longitud .Los puntos y se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio .

10Ejes de simetría: son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

11Asintotas: son las rectas de ecuaciones:

12Relación entre los semiejes:

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad es un parámetro que indica la abertura de la hipérbola. Este número, en el caso de las hipérbolas, siempre es mayor que .

excentricidad de una hiperbola

Podemos encontrar más información de la excentricidad de una hipérbola aquí.

Hipérbola equilátera

Las hipérbolas en las que los semiejes son iguales se llaman equiláteras, y por tanto .

Ejemplo de hipérbola equilátera
Ejemplo de hipérbola equilátera 

En este caso la hipérbola (centrada en el origen) cuenta con los siguientes elementos.

  • Tiene por ecuación:
  • Sus asíntotas son:

    por lo que las asíntotas son las bisectrices de los cuadrantes.
  • Su excentricidad viene dada por:

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

Hipérbola equilátera

 

Ahora, si queremos pasar de los ejes a los ejes determinados por las asíntotas de la hipérbola equilátera, entonces basta con efectuar un giro de alrededor del origen de coordenadas.

Recordemos que las coordenadas de un punto después de una rotación de un ángulo estan dadas por donde

De lo anterior, tendremos que la ecuación de la hipérbola equilátera después de un giro de es

Es decir,
.

Hipérbola equilátera

 

Si en lugar de un giro de efectuamos un giro de en los ejes, la hipérbola queda en el segundo y cuarto cuadrante y su ecuación será:

Hipérbola equilátera

Ejercicio considerando una hipérbola equilátera

La ecuación representa una hipérbola equilátera, calcular sus vértices y focos.

Notemos que se trata de una hipérbola como la que tenemos en , entonces las coordenadas de los vértices se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante, esto nos dice que la primera y la segunda coordenada de los vértices serán iguales, es decir, en los vértices tendremos que . Por otro lado, también se tiene que los vértices pertenecen a la curva por lo que se debe cumplir que . Uniendo estas ultimas dos condiciones obtenemos que

y de aquí
Para los focos, comenzaremos calculando y . Ya que es la distancia del origen al vértice, utilizando la formula de distancia entre dos puntos tendremos que

al tratarse de una hipérbola equilátera

y utilizando la relación entre los semiejes
Ahora bien, los focos se encuentran a una distancia del origen, por lo tanto si

además, los focos también se encuentran en la bisectriz del primer y tercer cuadrante entonces en y tendremos que . Considerando lo anterior

y de aquí
Hipérbola del ejercicio Hipérbola .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗