El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado dice que:
Si 
y 
son funciones continuas en 
y derivables en 
, entonces existe un punto 
tal que:
con 
.
El valor del primer miembro es constante, por lo que:
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos 
y 
de las curvas 
y 
, tales que la pendiente de la tangente a la curva en el primer punto es 
veces la pendiente de la tangente a la curva en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.
Ejemplo: Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo 
a las funciones:
En caso afirmativo, aplicarlo.
1 Las funciones y son continuas y derivables en 
por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en y derivables en 
.
2 Además se cumple que 
.
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones
Evaluamos en la fórmula
Las raíces son 
y 
Como 
, concluimos que el valor buscado es 
Ejemplo:Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo 
a las funciones:
En caso afirmativo, aplicarlo.
1 Las funciones 
y 
son continuas y derivables en toda la recta real y en particular son continuas en el intervalo y derivables en 
2 Además se cumple que 
.
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones
Evaluamos en la fórmula
Las raíces son 
Como 
, concluimos que el valor buscado es 
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Y=x³ x=1 ∆x=0.02
Dy= 3x^2 • dx
dy= 3(1)^2 • 0.02
dy= 0.06
Considera la curva de ecuación y=-X³ + 26X y halla sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y= -X.
f(x)= 4x-2
hola me pode hayudar con este problema Realizar la derivada por definición de f(x) = x³+1 en x = 0.
De acuerdo con la definición de derivada de una función
f´(x)=〖lim〗┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
f(x)=1/2 x^3+2x+3
4(x+h)-4x/h =4x+4h-4x/h= 4h/h= 4