Problemas de máximos, mínimos y puntos de inflexión

Ejercicios propuestos

1La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300

1 Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2 Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.Solución

2Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1 − t).

Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:

1 ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

2 ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?

3 ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? Solución

3Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.Solución

4Determinar a, b y c para que la función f(x)=x3 + ax2 +bx + c tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1 para x=1. Solución

5Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0).Solución

6Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0). Solución

7La curva f(x) = x3 + ax2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c. Solución

8Dada la función:

solución

Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.Solución

9Hallar a y b para qué la función: f(x) = aln x + bx2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?Solución

10Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.Solución

11La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una ley del tipo:

Solución

donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a 24). Responde a las siguientes preguntas:

1 ¿Se queda alguna vez vacía de dinero la máquina?

2 Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿Arroja ganancias para los dueños de la máquina?

3 ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

4 ¿Cuándo entrega el mayor premio?Solución

12Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x = 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX. Solución