Representar las siguientes funciones, estudiando los puntos siguientes
- Dominio
- Simetría
- Puntos de corte con los ejes
- Asíntotas
- Crecimiento y decrecimiento
- Máximos y mínimos
- Concavidad y convexidad
- Puntos de inflexión
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Simetría
Para revisar la simetría comenzamos por evaluar la función en , y tendremos 3 posibles casos,
1 Una función par si ,
2 Una función impar si ,
3 o no aplica si no regresamos a la función original.
En este caso
Por tanto, tenemos simetría respecto al origen, es decir, función impar
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con :
Tenemos corte en este eje si , entonces, comenzamos igualando a cero
Por tanto obtenemos cero si
De aquí tendremos que los puntos de corte del eje son:
Punto de corte con :
Tenemos puntos de corte en este eje si , entonces:
.
Por lo tanto el punto de corte con el eje es:
Asíntotas
Para encontrar las asíntotas, tendríamos que encontrar un punto tal que ,
En este caso tenemos una función polinomial la cuál no tiene asíntotas.
Crecimiento y decrecimiento
Para saber si una función es creciente o decreciente en un punto, debemos de encontrar los puntos críticos, es decir, donde la derivada se hace cero. Calculamos la derivada
Vamos a calcular los puntos críticos
Ahora vamos a revisar que signo tiene la función al segmentar el dominio en y :
Entonces la función es creciente en el intervalo y decreciente en
Para encontrar los mínimos y máximos, evaluamos los puntos críticos encontrados anteriormente en la segunda derivada. Si es positiva, entonces tenemos un mínimo, si es negativa entonces tenemos un máximo.
Entonces tenemos un mínimo en , y un máximo en
Concavidad y convexidad
Para revisar la concavidad y conexidad usamos la segunda derivada cuando se hace cero y revisamos los intervalos donde la función es positiva y negativa, si es positiva entonces es convexa y si es negativa, entonces es cóncava.
y en los intervalos
Entonces la función es convexa en el intervalo y cóncava en
Puntos de inflexión
Se tiene un punto de inflexión si en un punto ,
Ahora evaluamos el único punto donde la segunda derivada se hace cero
Cómo el resultado es diferente de cero entonces tenemos un punto de inflexión en .
Representación gráfica
2
Simetría
Observemos que
Por tanto, tenemos simetría respecto al eje , es decir, la función es par.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con :
Entonces, los puntos de corte son
Puntos de corte con :
Notemos que
entonces el punto de corte es
Asíntotas
No tiene asíntotas.
Crecimiento y decrecimiento
Calculamos los puntos critimos:
igualamos a cero
Ahora revisamos el signo al segmentar el dominio:
por lo tanto es creciente en y decreciente en
Evaluando los puntos críticos encontrados en la segunda derivada obtenemos que
Los puntos mínimos son
Como punto máximo tenemos a
Concavidad y convexidad
Buscamos los puntos donde la segunda derivada se hace cero
Notemos que
por lo tanto es convexa en y concava en
Puntos de inflexión
Calculando la tercera derivada concluimos que los puntos de inflexion son
Representación gráfica
3
Eliminamos el punto donde se hace cero el denominador
por tanto
Simetría
Notemos que
es decir, no presenta simetría.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con
Entonces, el punto de corte es
Punto de corte con
Tenemos que
entonces el punto de corte es
Asíntotas
Asíntota horizontal:
Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: .
Notemos que
Entonces no tiene asíntota horizontal.
Asíntotas verticales:
Las asíntotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas. Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: .
Notemos que
entonces
Asíntota oblicua:
Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación:
donde
Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.
En este caso:
Entonces la asíntota oblicua tiene ecuación :
Crecimiento y decrecimiento
Primero encontramos los puntos críticos
igualando a cero
tendremos que los puntos críticos son
Revisamos los signos al segmentar el dominio
entonces
Evaluando los puntos críticos encontrados en la segunda derivada obtenemos que
Concavidad y convexidad
Calculando la segunda derivada y encontrando donde se hace cero
Evaluando en los intervalos cercanos
por lo tanto es convexa en y concava en
Puntos de inflexión
Representación gráfica
4
Eliminamos el punto donde el denominador se hace cero
Simetría
Notemos que
Entonces tenemos simetría respecto al eje , es decir, se trata de una función par.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con :
Igualamos a cero y obtenemos
Por tanto, no hay puntos de corte con el eje
Punto de corte con :
Similarmente
Por tanto, no hay puntos de corte con el eje
Asíntotas
Asíntota horizontal:
Es decir, no hay asíntota horizontal
Asíntotas verticales:
Asíntota oblicua:
Es decir, no tiene.
Crecimiento y decrecimiento
Observemos que
de aqui
Por lo tanto la función será creciente en y decreciente en
Ademas, los puntos mínimos estan dado por y
Concavidad y convexidad
Observemos que
entonces
De aqui concluimos que la función es convexa en
Puntos de inflexión
No hay punto de inflexión.
Representación gráfica
5
Eliminamos el mundo donde el denominador se anula
Simetría
No presenta simetría
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con :
Punto de corte con :
Asíntotas
Asíntota horizontal:
Notemos que
Entonces, no tiene.
Asíntotas verticales:
Asíntota oblicua
entonces
Crecimiento y decrecimiento
Encontramos puntos críticos
Evaluando en los intervalos
Es decir, tendremos que es creciente en y decreciente en .
Evaluamos los puntos críticos encontrados en la segunda derivada, para encontrar los mínimos y máximos.
Tendremos que es un minimo y un máximo.
Concavidad y convexidad
Puesto que no tenemos solución, dividiremos los intervalos del dominio a partir del 2 que no pertenece al dominio.
Obteniendo
Por tanto, tenemos que de convexa y de concava.
Puntos de inflexión
No hay punto de inflexión.
Representación gráfica
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Simetría
Tenemos simetría respecto al origen, es decir, se trata de una función impar.
Puntos de corte con los ejes
Punto de corte con :
entonces el punto de corte es
Punto de corte con :
Tenemos
entonces el punto de corte es
Asíntotas
Asíntota horizontal:
No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.
Crecimiento y decrecimiento
Encontramos los puntos críticos
Revisamos el signo tiene la función al segmentar el dominio
De donde tenemos que la función es creciente de y decreciente en .
Y evaluando los puntos criticos en la segunda derivada, tendremos que
Concavidad y convexidad
Calculamos los puntos donde se hace cero la segunda derivada
Revisamos el signo en los intervalos
Por tanto, tenemos que la función es convexa en y es cóncava en .
Puntos de inflexión
Representación gráfica
7
Simetría
No presenta simetría
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con :
Punto de corte con :
Asíntotas
Asíntota horizontal:
No hay asíntotas verticales ni oblicuas.
Crecimiento y decrecimiento
entonces
Revisamos el signo al segmentar el dominio de la función
Por tanto tenemos que es creciente de y decreciente de
Evaluando los puntos críticos en la segunda derivada encontramos que
Con los datos obtenidos representamos:
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Puesto que se esta calculando la raiz de "" en la funcion tendremos que
Simetría
No presenta simetría.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con :
por lo que el punto de corte es
Punto de corte con :
por lo que el punto de corte es
Asíntotas
No tiene asíntotas.
Crecimiento y decrecimiento
Por lo tanto, los puntos críticos son
Puesto que no tiene solución, solo consideramos el intervalo del dominio
Es decir, es una función creciente.
Máximo y mínimos
No existen extremos locales.
Concavidad y convexidad
Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero
Al no tener solución, tomamos el intervalo del dominio, obteniendo
Por lo que es una funcion concava.
Puntos de inflexión
No hay punto de inflexión.
Representación gráfica
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Simetría
No presenta simetría.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con :
Punto de corte con :
Asíntotas
Asíntota horizontal:
No hay asíntotas verticales ni oblicuas.
Crecimiento y decrecimiento
verificando el signo
De donde deducimos que la función es creciente de y decreciente de
Evaluando los puntos críticos en la segunda derivada, encontramos que
Concavidad y convexidad
Calculamos la segunda derivada y encontramos los puntos que la anulan
Se segmenta el dominio en y observando el signo de la segunda derivada en estos intervalos
Por tanto, la función em el intervalo es convexa y en el intervalo es concava.
Puntos de inflexión
Representación gráfica
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Simetría
No presenta simetría.
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con :
es decir, y el punto de corte sería
Punto de corte con :
No corta con el eje
Asíntotas
Asíntota horizontal:
Asíntotas verticales
Crecimiento y decrecimiento
Calculamos puntos criticos
obteniendo como punto critico . Entonces
por tanto la función es creciente de y decreciente de . Encontramos un máximo en .
Concavidad y convexidad
Igualando la segunda derivada a cero
Segmentando el dominio y observando el signo de la segunda derivada concluimos que la función es convexa de y cóncava de .
Representación gráfica
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Determinar el límite de la función 𝑓(𝑥) =
9
(𝑥+1)
2
cuando la x tiende al infinito
Funcion exponencial
Porque no se puede representar analíticamente la función inversa de F(x) = 1 – 2/x²
F(x)=1-2x resuelvan o expliquenme xfis todos estos f(x)6-x.
F(x)x-2
F(x)3x-1 es para hoy xfis
Un favor me podria ayudar este ejercicio?. Encontrar la funcion inversa f(x) = sen(x/2)
³√(x-3)/3