¡Bienvenidos a esta serie de ejercicios de aplicaciones de la derivada! en donde exploraremos cómo utilizar la derivada, una herramienta fundamental en cálculo, para resolver una variedad de problemas del mundo real. Las derivadas nos permiten entender cómo cambian las funciones en función de una variable y son esenciales en campos como la física, la economía, la biología y muchas otras disciplinas.

¡Prepárate para poner en práctica tus habilidades matemáticas y explorar cómo las derivadas pueden ayudarnos a comprender y resolver máximos y mínimos!

 

1 Encuentra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la siguiente función:

Notemos, primero, que el dominio de es

 

 

Para encontrar los intervalos de crecimiento, debemos encontrar esos intervalos donde la derivada es positiva. De manera similar, para encontrar los intervalos de decrecimiento, necesitamos encontrar los intervalos en donde la derivada es negativa. Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es derivar la función:

 

 

Ahora, para encontrar los intervalos donde es positiva o negativa, debemos encontrar los ceros de primero:

 

 

Por lo tanto, , de donde se sigue que y .

 

La lógica que seguimos aquí es que cambia de signo alrededor de sus raíces o puntos de indeterminación.

 

Observemos que si (es decir, ), entonces . Para notarlo evaluamos, por ejemplo, en con lo que obtenemos .

 

Similarmente, si , entonces .

 

Por último, si , entonces tenemos que .

 

De este modo, los intervalos donde es creciente son

 

 

mientras que los intervalos donde es decreciente son

 

 

 

2 Encuentra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la siguiente función:

Notemos, primero, que el dominio de es

 

 

ya que tenemos una indeterminación en 0.

 

Para encontrar los intervalos de crecimiento, debemos encontrar esos intervalos donde la derivada es positiva. De manera similar, para encontrar los intervalos de decrecimiento, necesitamos encontrar los intervalos en donde la derivada es negativa. Por lo tanto, lo primero que debemos hacer es derivar la función:

 

 

Ahora, para encontrar los intervalos donde es positiva o negativa, debemos encontrar los ceros de primero:

 

 

Por lo tanto, , de donde se sigue que y . Además, observemos que debemos tomar en cuenta el valor de ya que tiene una indeterminación ahí.

 

La lógica que seguimos aquí es que cambia de signo alrededor de sus raíces o puntos de indeterminación.

 

Observemos que si (es decir, ), entonces . Para notarlo evaluamos, por ejemplo, en con lo que obtenemos .

 

Similarmente, si , entonces .

 

Si , entonces .

 

Por último, si , entonces tenemos que .

 

De este modo, los intervalos donde es creciente son

 

 

mientras que los intervalos donde es decreciente son

 

 

 

3 Encuentra los máximos y mínimos de la siguiente función:

Para encontrar los máximos y mínimos de la función, necesitamos calcular la derivada de la función.

 

 

La función tendrá un máximo o mínimo cuando , es decir,

 

 

lo cual se cumple si . Luego, .

 

Para determinar si es un máximo, podemos utilizar el criterio de la segunda derivada o el criterio de la primera derivada. En este caso, es más sencillo utilizar el criterio de la primera derivada para evitar calcular la segunda derivada. Para esto, evaluamos en un punto a la izquierda de y en un punto a la derecha de este (siempre que no sea -3 y 3). Como -1 está a la izquierda de , evaluamos:

 

 

Asimismo, como 1 está a la derecha de , entonces evaluamos:

 

 

Notemos que a la izquierda de la derivada es positiva (la función crece) y a la derecha de la derivada es negativa (la función decrece).

 

El valor de en es:

 

 

Esto significa que es un máximo (y el único valor extremo de ).

 

 

4 Encuentra los máximos y mínimos de la siguiente función:

Para encontrar los máximos y mínimos de la función, necesitamos calcular la derivada de la función.

 

 

La función tendrá un máximo o mínimo cuando , es decir,

 

 

lo cual se cumple si .

 

Para determinar si es un máximo, podemos utilizar el criterio de la segunda derivada o el criterio de la primera derivada. En este caso, es más sencillo utilizar el criterio de la primera derivada para evitar calcular la segunda derivada. Para esto, evaluamos en un punto a la izquierda de y en un punto a la derecha de este. Como -6 está a la izquierda de , evaluamos:

 

 

Asimismo, como -4 está a la derecha de , entonces evaluamos:

 

 

Notemos que a la izquierda de la derivada es positiva (la función crece) y a la derecha de la derivada es negativa (la función decrece).

 

El valor de en es:

 

 

Esto significa que es un máximo de ).

 

Para determinar si es un mínimo, podemos utilizar el criterio de la segunda derivada o el criterio de la primera derivada. En este caso, es más sencillo utilizar el criterio de la primera derivada para evitar calcular la segunda derivada. Para esto, evaluamos en un punto a la izquierda de y como vimos previamente, .

Asimismo, como 2 está a la derecha de , entonces evaluamos:

 

 

Notemos que a la izquierda de la derivada es negativa (la función decrece) y a la derecha de la derivada es positiva (la función crece).

 

El valor de en es:

 

 

Esto significa que es un mínimo de ).

 

 

5 Encuentra los máximos y mínimos de la siguiente función:

Para encontrar los máximos y mínimos de la función, necesitamos calcular la derivada de la función. Observemos, antes que el denominador es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la función se puede simplificar como

 

 

Así, la derivada es:

 

 

que al simplificar el numerador, obtenemos:

 

 

La función tendrá un máximo o mínimo cuando , es decir,

 

 

lo cual se cumple si . Luego, .

 

Para determianr si es un máximo, podemos utilizar el criterio de la segunda derivada o el criterio de la primera derivada. En este caso, es más sencillo utilizar el criterio de la primera derivada para evitar calcular la segunda derivada. Para esto, evaluamos en un punto a la izquierda de y en un punto a la derecha de este (siempre que no sea mayor a 3). Como 1 está a la izquierda de , evaluamos:

 

 

Asimismo, como 2 está a la derecha de , entonces evaluamos:

 

 

Notemos que a la izquierda de la derivada es negativa (la función decrece) y a la derecha de la derivada es positiva (la función crece).

 

El valor de en es:

 

 

Esto significa que es un mínimo (y el único valor extremo de ).

 

 

6 Determina las ecuaciones de la recta tangente y la ecuación normal en de la siguiente función:

La primera derivada está dada por

 

 

La pendiente de la recta tangente en está dada por

 

 

La función en es

 

 

Por tanto, la función pasa por el punto y la recta tangente debe pasar por el mismo punto.

 

1 Para determinar ecuación de la recta tangente, utilizamos la fórmula punto pendiente con y :

 

 

por lo que la ecuación de la recta tangente es

 

 

2 Similarmente, para encontrar la ecuación de la recta normal, utilizamos la fórmula pendiente, pero ahora con y :

 

 

por lo que la ecuación de la recta normal es

 

 

o

 

 

 

7 Determina las ecuaciones de la recta tangente y la ecuación normal en el punto de inflexión de la siguiente función:

Primero debemos encontrar el punto de inflexión de la derivada. Esto lo logramos al encontrar la segunda derivada de la función. La primera derivada está dada por

 

 

mientras que la segunda derivada está dada por

 

 

El punto de inflexión se encuentra cuando , es decir,

 

 

por lo que es el punto de inflexión.

 

Luego, el valor de la derivada en el punto de inflexión es:

 

 

Así, la pendiente de en es 4. La recta tangente debe tener esa pendiente.

 

Si evaluamos la función en , tenemos:

 

 

Por tanto, la función pasa por el punto y la recta tangente debe pasar por el mismo punto.

 

1 Para determinar ecuación de la recta tangente, utilizamos la fórmula punto pendiente con y :

 

 

por lo que la ecuación de la recta tangente es

 

 

2 Similarmente, para encontrar la ecuación de la recta normal, utilizamos la fórmula pendiente, pero ahora con y :

 

 

por lo que la ecuación de la recta normal es

 

 

or

 

 

 

8 La cantidad expresa el dinero acumulado en una máquina de tragaperras durante un día y se calcula de la siguiente manera:

en donde la variable representa el tiempo en horas (entre 0 y 24). Responde las siguientes preguntas:

a ¿Se queda sin dinero la máquina en alguna ocasión?

b Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿La máquina da ganancias a los dueños de la máquina?

c ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

d ¿En qué momento la máquina entrega el mayor premio?

a ¿Se queda sin dinero la máquina en alguna ocasión?

 

Para responder esta pregunta, es necesario verificar que para todo . Esto no es sencillo, pues tenemos que encontrar las raíces de y es una ecuación de tercer grado. La forma más sencilla es graficar la función:

 

grafica dinero como funcion del tiempo

 

Observemos que la grafica es positiva en todo el intervalo . Asimismo, observemos que toma valores muy grandes, incluso superiores a .

 

Por lo tanto, podemos concluir que la máquina nunca se queda sin monedas.

 

b Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿La máquina da ganancias a los dueños de la máquina?

 

Para responder esta pregunta debemos determinar la cantidad de dinero al inicio y al final del periodo de 24 horas. Es decir, y . Tenemos que

 

 

y

 

 

por lo tanto, al final de las 24 horas, la máquina tiene euros. Esto representa una ganacia de euros por día.

 

c ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?

 

Interpretamos los momentos de mayor y menor recaudación como aquellos momentos donde la máquina tiene el mayor o menor dinero.

 

De la gráfica podemos observar que la máquina tiene el menor dinero cuando , pues es el único caso donde . Este mínimo no se puede obtener por medio de la derivada.

 

Para la mayor recaudación debemos encontrar el máximo de la función. Por tanto, debemos derivar:

 

 

Encontramos las raíces por medio de la fórmula general:

 

 

por lo que las raíces son 16 y 22.

 

Calculamos la segunda derivada:

 

 

y observamos que por lo que en tenemos un máximo. Al evaluar , por lo que es un mínimo local (sin embargo, su valor es mayor al de .

 

Antes de concluir que el momento de máxima recaudación es , debemos comprobar que sea mayor a :

 

 

por lo que, en efecto, el momento de mayor recaudación es cuando . Es decir, a la 16va hora.

 

d ¿En qué momento la máquina entrega el mayor premio?

 

El mayor premio se entrega cuando decrece lo mayor posible. La función solo decrece entre 16 y 22, así que en alguno de estos momentos se entrega el mayor premio. Hay dos formas de encontrarlo, una forma es encontrar el mínimo de el cual, al ser una parábola, será el punto medio de sus raíces (16 y 22), es decir, 19.

 

Otra forma es encontrar el punto de inflexión utilizando la segunda derivada. En este caso, . Si igualamos a 0, obtenemos

 

 

de manera que . Justo como lo habíamos calculado anteriormente. Por consiguiente, en la hora 19 se entrega el mayor premio.

 

 

9 Sea . Encuentra los valores de y de manera que la gráfica de la función de tenga un punto de inflexión en y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de con el eje-x.

Para encontrar el punto de inflexión necesitamos la segunda derivada. Por tanto, empezamos calculando la primera derivada:

 

 

Luego, la segunda derivada es

 

 

Como queremos que el punto de inflexión esté en , evaluamos en 1 e igualamos a 0:

 

 

de donde se obtiene la ecuación y, por tanto, . Luego, deseamos que la tangente en ese punto forme un ángulo de con el eje-x. Sabemos que la tangente de ese ángulo es la pendiente, por tanto

 

 

es decir, la recta tangente debe tener una pendiente de 1, es decir, . Así, evaluando en la derivada, obtenemos

 

 

De donde obtenemos que o .

 

Por lo tanto, y .

 

 

10 Obtén la ecuación de la tangente a la gráfica de en su punto de inflexión.

Primero debemos encontrar el punto de inflexión. Para hacerlo, necesitamos que la segunda derivada sea igual a cero. Primero calculamos la primera derivada:

 

 

Por lo que la segunda derivada es

 

 

Así, al igualar en cero tenemos o . Por lo que el punto de inflexión se encuentra cuando . Ahora evaluamos en :

 

 

de manera que el punto de inflexión es el punto .

 

Asimismo, la recta tangente tiene como pendiente a . Por tanto, evaluamos en :

 

 

Con esto ya podemos encontrar la ecuación de la recta tangente utilizando la fórmula punto-pendiente:

 

 

Así, la ecuación de la recta tangente es

 

 

 

11 Determina el , y para que la función tenga un máximo en , tenga un mínimo para y tome el valor de 1 en .

Como sabemos donde están los máximos y mínimos, necesitamos la primera derivada de la función:

 

 

donde los valores críticos deben estar en y (nota que no importa si son mínimos o máximos, como el coeficiente principal es 1, entonces el máximo siempre estará a la izquierda). Así, se debe cumplir que y :

 

 

de donde se sigue que . Similarmente,

 

 

de donde se obtiene que al despejar .

 

Por último, sabemos que . Así:

 

 

Por lo que . Así, los valores son

 

 

y la función es .

 

 

12 Determinar , , , y de manera que la curva tenga un punto crítico en y tenga un punto de inflexión tangente a la recta en el punto .

Sabemos que tiene un punto de inflexión en , esto significa que

 

1 debe pasar por el punto :

 

 

por lo tanto, .

 

2 La segunda derivada de debe ser 0 en . Por tanto, calculamos las derivadas:

 

 

y

 

 

donde se debe cumplir que :

 

 

de donde se sigue que .

 

Todavía nos faltan por determinar las constantes , y . Sin embargo, ya sabemos que la función tiene la forma

 

 

Sabemos que la función es tangente a (pendiente 2) en el punto . Por tanto, debemos tener que :

 

 

de donde se sigue de inmediato que .

 

Por último, sabemos que tiene un punto crítico en . Esto significa que

 

1 pasa por el punto o que . Así:

 

 

o

 

 

2 La derivada de en debe ser 0. Es decir:

 

 

o

 

 

Notemos que (1) y (2) forman un sistema de ecuaciones. Una forma de resolverlo es multiplicar a (1) por 3 y restar el resultado a (2). Esto resulta:

 

 

Luego, sustituimos este valor en (1) para obtener o .

 

Por tanto,

 

 

 

13 La curva corta al eje de abscisas en y tiene un punto de inflexión en . Encuentra los valores de , y .

Como la curva corta al eje de abscisas en , entonces debemos tener que . Es decir,

 

 

o

 

 

Luego, conocemos un punto de inflexión de . Esto significa dos cosas:

 

1 debe pasar por el punto

 

 

es decir

 

 

o

 

 

2 Además, sabemos que el punto de inflexión está en . Por lo tanto, necesitamos la segunda derivada de . Primero calculamos la primera derivada:

 

 

por lo que la segunda derivada es

 

 

donde sabemos que , es decir

 

 

Luego, .

 

Ahora sustituimos en las dos ecuaciones anteriores. Al sustituir en (2) tenemos , es decir

 

 

y al sustituir en (1), obtenemos , es decir,

 

 

Sustituyendo en la ecuación (3), se obtiene que

 

 

es decir, . Luego, al sustituir en la expresión que tenemos para , obtenemos

 

 

Por lo tanto, los valores son

 

 

 

14 Dada la función

encuentra los valores de , y tales que la función tenga en un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

Deseamos que la curva pase por el origen de coordenadas. Es decir, . Si evaluamos la función en el origen, obtenemos:

 

 

de donde se sigue y que . Por lo tanto, ya encontramos uno de los tres valores.

 

Asimismo, sabemos que debe tener un extremo local en . Esto significa dos cosas:

 

1 Lo primero, es que . Es decir, debe pasar por el punto . De modo que, al evaluar en 2, obtenemos

 

 

Si pasamos el denominador multiplicando, obtenemos

 

 

es decir

 

 

2 Además de que deba pasar por , también se debe cumplir que para que la función tenga un extremo local en ese punto. Por tanto, debemos encontrar la derivada de utilizando la regla del cociente:

 

 

que, si simplificamos un poco, resulta en

 

 

Al evaluar en 2, obtenemos:

 

 

Debemos tener que para que no se indetermine la derivada. Así, la expresión es equivalente a . Como sabemos que , entonces se debe tener que . Así, .

 

Luego, sustituyendo en la ecuación del caso anterior, tenemos:

 

 

es decir .

 

Por lo tanto, , y .

 

 

15 Encuentra los valores de y para que la función tenga valores extremos en los puntos y . Luego, dados esos valores de y , ¿qué tipo de extremos tiene la función en y en ?

Como queremos que la función tenga valores extremos en y , entonces debemos tener que y .

 

Por lo tanto, primero calculamos la derivada de la función

 

 

Ahora evaluamos en :

 

 

Asimismo, si evaluamos :

 

 

Por tanto, tenemos el siguiente sistema de ecuaciónes

 

 

cuya solución es y . Por tanto, los valores son

 

 

y nuestra función es

 

 

Luego, para determinar si son mínimos o máximos, calculamos la segunda derivada:

 

 

Si evaluamos en :

 

 

por lo que tenemos un mínimo en . Similarmente, si evaluamos en :

 

 

de manera que tenemos un máximo en .

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗