Concavidad y convexidad

Concavidad y convexidad

Criterio de concavidad y convexidad

Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.

Es posible encontrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Concavidad

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Convexidad

Intervalos de concavidad y convexidad

Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:

f(x) = x³ − 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

 2  Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

 Recta

 3  Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es convexa

Si f''(x) < 0 es cóncava

Del intervalo (−∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.

f''(−1) = 6 (−1) < 0 Cóncava

Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.

f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa

Recta

 4  Escribimos los intervalos:

Convexidad: (0, ∞)

Concavidad: (−∞, 0)


Ejemplo

Dominio, simetría y puntos de corte

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función

Dominio, simetría y puntos de corte

Hallamos la derivada primera

Monotonía y extremos

Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero

Curvatura y puntos de inflexión

Hallamos las raíces de la ecuación

Curvatura y puntos de inflexión

Formamos intervalos con los ceros de la derivada segunda y con los puntos de discontinuidad

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

Si el resultado es positivo, la función es convexa en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es concava en ese intervalo

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión