Crecimiento

Si f es derivable en a:

Creciente

Decrecimiento

Si f es derivable en a:

Decreciente

Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

f(x) = x³ − 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

f'(x) = 3x² −3

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3x² −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

intervalo

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente

Si f'(x) < 0 es decreciente

Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = −2, por ejemplo.

f'(2) = 3(2)² −3 > 0

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f'(0) = 3(0)² −3 < 0

Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f'(2) = 3(2)² −3 > 0

Recta

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, −1) unión (1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)

Ejemplo

Dominio, simetría y puntos de corte

En primer lugar calculamos el dominio para saber donde está definida la función

Dominio, simetría y puntos de corte

Derivamos e igulamos la derivada a cero

Monotonía y extremos

Hallamos las raíces de la ecuación

Monotonía y extremos

Formamos intervalos con los ceros de la derivada primera y con los puntos de discontinuidad

Sustituimos un valor de cada intervalo en la función

Si el resultado es positivo, la función es creciente en ese intervalo

Si el resultado es negativo, la función es decreciente en ese intervalo

Monotonía y extremos

La función es creciente en:

Monotonía y extremos

La función es decreciente en:

Monotonía y extremos