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Vamos

Halla los puntos

 

1 Dada la parábola , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Encuentra la ecuación de la recta tangente y normal en dichos puntos.

 

1 Encontrar los puntos

 

La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación , por tanto .

Derivamos la ecuación de la parábola, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente

e igualamos a y despejamos para calcular el valor de x en el que ocurre esto

Evaluamos la función original en este punto

Entonces

 

2 Recta tangente

 

 

recta tangente representación gráfica

 

3 Recta normal

 

 

2 Dada la curva de ecuación , halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje un ángulo de .

 

Lo primero que debemos saber es que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje

Es decir

 

pendiente de una recta representación gráfica

 

La derivada de nos indica la pendiente de la recta tangente

Como quiero que la recta tangente forme con el eje , estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de

Entonces,

Despejamos

Al obtener el valor  de x hemos obtenido la abscisa. Para obtener el valor de la ordenada, evaluamos el punto en la función original

Finalmente

 

3 Calcular los puntos en que la tangente a la curva es paralela al eje .

 

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. El eje tiene pendiente cero.Entonces quiero que la tangente a la curva tenga pendiente cero. Así que quiero que

Simplificando obtenemos la ecuación

Resolvemos, y evaluamos las soluciones en la función

Finalmente los puntos donde la tangente a la curva es paralela al eje son:

 

4 Se ha trazado una recta tangente a la curva , cuya pendiente es y pasa por el punto . Hallar el punto de tangencia.

 

La derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la curva

El problema dice que esta pendiente es , entonces

Resolvemos

Obtenemos la ecuación de la recta tangente en estos puntos

 

1 Abscisa x=1

2 Abscisa x=-1

 

Pero el punto sólo pertenece a la recta .

Por tanto el punto de tangencia será .

 

5 Buscar los puntos de la curva , para los cuales la tangente forma un ángulo de con .

 

1Obtener abscisas

Recordemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje

Es decir

La derivada de nos indica la pendiente de la recta tangente

Como quiero que la recta tangente forme con el eje , estoy pidiendo que la pendiente tenga el valor de

Entonces,

Despejamos

Factorizamos una x

Una solución es

Las otras soluciones se obtienen cuando

2Obtener ordenadas

Evaluamos los puntos en la función original

Finalmente

 

6 ¿En qué punto de la curva , la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)?

 

La pendiente de la cuerda tiene que ser igual a la derivada de la función.

Entonces,

Evaluamos este punto en para obtener la ordenada

Finalmente

 

Calcula la ecuación de la recta

 

7 Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva en el punto de abscisa: .

 

1 Recta tangente

Obtener pendiente

Derivamos la función, pues sabemos que la derivada nos indica la pendiente de la recta tangente

Evaluamos en

Obtener las coordenadas del punto de tangencia

Evaluamos la función original en este punto para obtener la ordenada

Obtener la ecuación de la recta tangente

 

2 Recta normal

 

 

8 Dada la ecuación , hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación .

 

La ecuación , al despejar se puede reescribir

Derivando implícitamente la ecuación tenemos:

Y como la derivada nos da la pendiente de la recta tangente, la igualaremos a 3 pues es el valor que buscamos que tenga

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones de 2x2

Resolvemos, sustituyendo la segunda ecuación en la primera

Para obtener la ordenada de los puntos sólo basta con sustituir el valor de en la ecuación más sencilla del sistema

Obtenemos la ecuación de la recta en estos puntos

 

1 x=1

2 x=-1

 

Determina los parámetros

 

9 Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función en los puntos de abscisas , sean paralelas.

 

La derivada de es

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en y sean iguales. Es decir

Esto es

Una solución es

La otra es

 

10 Hallar los coeficientes de la ecuación , sabiendo que su gráfica pasa por y por , y en este último punto su tangente tiene de pendiente .

 

Obtenemos ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

Además la pendiente de la tangente está dada por

Si la pendiente en el punto es 3, esto quiere decir que

Resolviendo el sistema de 3x3 se obtiene:

Y la ecuación queda

 

11 La gráfica de la función pasa por los puntos y , siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de y .

 

Obtenemos ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

Además la pendiente de la tangente está dada por

Si la pendiente en el punto es paralela a la bisectriz cuadrante, esto quiere decir que la pendiente es

Resolviendo el sistema se obtiene:

Y la ecuación queda

 

12 Dada la función  , determina y ; sabiendo que la curva pasa por los puntos . Además las tangentes en los puntos de abscisa y [/latex]-2[/latex] son paralelas al eje .

 

Obtenemos ecuaciones al sustituir el valor de la abscisa en e igualarla al valor de la ordenada de los puntos que pasan por la gráfica

Además la pendiente de la tangente está dada por

Si la pendiente en el punto es paralela a la bisectriz cuadrante, esto quiere decir que la pendiente es

Resolviendo el sistema de se obtiene:

Y la ecuación queda

 

Encuentra el ángulo o área

 

13 Dada la función , hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función en el origen, con el eje de abscisas.

 

La recta tangente a la gráfica tiene pendiente

En el origen esta pendiente es

Recodermos que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con el eje

Entonces

 

14 Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva en el punto .

 

Si , entonces

La pendiente de la recta tangente a la curva está dada por la derivada

Evaluamos para obtener la pendiente en

La ordenada del punto se obtiene evaluando en la función original

Finalmente

Intersección con el eje OX

Un vértice es

Intersección con el eje OY

Otro vértice es

Y la figura es como a continuación

recta tangente a una curva representación gráfica

Como es un triángulo rectángulo, su base y altura están dados por los catetos, que en este caso ambos miden . El área es

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗