Ejercicios propuestos>

1 Dada la ecuación , hallar la ecuación de la recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación .

Supongamos que es el punto de tangencia, además conviene saber la pendiente que tiene que tener la recta tangente a la curva. Sabemos que la recta tangente es paralela a la recta por lo tanto tendrán la misma pendiente.

Ahora tenemos que encontrar en que punto de la curva dada la pendiente es igual a , y para ello derivamos implicitamente

entonces

Puesto que la pendiente es tres, entonces

Sustituyendo el punto de tangencia :

y se tiene que cumplir el siguiente sistema

de donde obtenemos que los posibles puntos son

Con estos puntos y la pendiente, obtenemos dos ecuaciones que cumplen con lo que buscamos

 

2 Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva en el punto .

Si , entonces

La pendiente de la recta tangente a la curva está dada por la derivada

Evaluamos para obtener la pendiente en

La ordenada del punto se obtiene evaluando en la función original

Finalmente

Intersección con el eje OX

Un vértice es

Intersección con el eje OY

Otro vértice es

Y la figura es como a continuación

recta tangente a una curva representación gráfica

Como es un triángulo rectángulo, su base y altura están dados por los catetos, que en este caso ambos miden . El área es

 

3 La ecuación de un movimiento rectilíneo es:. ¿En qué momento la velocidad en nula? Hallar la aceleración en ese instante.

La ecuación de movimiento rectilíneo que se nos da es: . Recordemos que la velocidad es la primer derivada de la función de movimiento, por lo tanto, para encontrar el momento en el cual la velocidad es nula, debemos derivar , igualar a cero y despejar :

 

.

 

Igualando a y despejando

 

 

Así, cuando , la velocidad es nula.

Ahora, la aceleración es igual a la derivada de la velocidad (o segunda derivada del movimiento), por lo tanto, para encontrar la aceleración en el tiempo en el cual la velocidad es nula (), debemos derivar y evaluar en :

,

 

evaluando en , tenemos

 

.

 

4 Un productor de nueces estima, de la experiencia de los años anteriores, que si se plantan árboles por hectárea, cada árbol producirá en promedio kilos de nueces cada año. Si por cada árbol adicional que se planta por hectárea la producción promedio por árbol desciende kilo, ¿cuántos árboles debe plantar para maximizar la producción por hectárea? ¿Cuál es esa producción máxima?

Sea

  • : numero de arboles adicionales
  • : Producción por hectárea

entonces

Derivando y resolviendo la ecuación que proporciona la primera derivada igual a cero obtenemos los puntos críticos:

Luego proporciona el máximo, con un número de árboles de y una producción por hectárea que obtenemos sustituyendo el valor en :

 

5 Calcular de la función para que tenga un vértice en y un punto de inflexión en .

Puesto que tenemos un vértice en entonces:

Otro dato es que tenemos un punto de inflexión en , entonces

Con lo anterior obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

lo resolvemos y obtenemos

6 Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima.

Llamemos al número que buscamos. El cual debe ser . Para encontrar lo tenemos que minimizar la función:

entonces

Por tanto, el número buscado es y el mínimo es .


7 De entre todos los triángulos rectángulos cuyos catetos tienen longitudes que suman cm, hallar las dimensiones de aquel cuya área es máxima.

Tenemos que

Entonces

Tenemos que maximizar la función:

Derivando

Por lo tanto, los catetos miden cm cada uno y el área máxima es de .

8 Sabemos que la función pasa por el punto y en ese punto tiene tangente paralela a la recta . Hallar y

Tenemos que

y de la información proporcionada

Resolviendo obtenemos que y .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗