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Vamos

Derivadas de funciones trigonométricas

 

Veremos ejercicios de derivación de funciones trigonométricas, intentaremos escribir el procedimiento lo más detallado posible. Se considerará que ya se conocen las derivadas de las funciones trigonométricas básicas.

 

1 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, en nuestro ejercicio usaremos y , entonces, nuestra derivada es

 

 

2 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

3 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

4 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

5 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Notemos que

 

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

6 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

7 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resultamos nuestra derivada

 

 

8 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resultamos nuestra derivada

 

 

9 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

simplificando obtenemos

 

 

de lo cual se concluye que

 

 

 

Derivadas de funciones trigonométricas inversas

 

1 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

2 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

3 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

4 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

5 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

 

Derivas de funciones compuestas de logaritmos y trigonométricas

 

1 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

2 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

3 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

4 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Antes de derivar, notemos que por propiedades de logaritmo, nuesta función puede ser escrita como

 

 

Tomemos

 

 

entonces se tiene

 

 

Dicho esto, resolvamos las derivadas. Empecemos con

 

 

Ahora derivemos

 

 

Por lo tanto

 

 

5 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada. Primero resolveremos la derivada de la función dentro del argumento del seno, esto es, primero derivaremos

 

 

 

Por lo tanto

 

 

 

Derivadas de funciones compuestas de exponenciales y trigonométricas

 

1 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Ademas de tener en cuenta la regla de la cadena, usaremos derivación implicita, esto para poder encontrar la derivada de .

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

2 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Ademas de tener en cuenta la regla de la cadena, usaremos derivación implicita, esto para poder encontrar la derivada de .

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

3 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Primero, dado a las propiedades de logaritmos, podemos hacer cambio de base a logaritmo natural, de donde se sigue que

 

 

de donde se sigue que

 

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada, usaremos la derivada de cociente de funciones

 

 

 

Derivadas sucesivas

 

Encuentra la formula general de la n-ésima derivada de las siguientes funciones.

 

1

 

Para obtener la formula primero debemos obtener las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón

 

 

Notemos que la cuarta derivada es una constante, , por lo tanto, de la quinta derivada en adelante las derivadas serán siempre cero, esto es

 

 

2

 

Para obtener la formula primero debemos obtener las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón

 

 

Notemos que, en general, la n-ésima derivada está dada por

 

 

3

 

Para obtener la formula primero debemos obtener las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón

 

 

Notemos que con estas primeras derivadas se obtiene que la n-ésima derivada tiene la forma

 

 

4

 

Para obtener la formula primero debemos obtener las primeras derivadas y ver si encontramos algún patrón

 

 

Notemos que la fórmula de la n-ésima derivada está dada por

 

 

 

Derivación implícita

 

En los siguientes ejercicio derivaremos implícitamente. Esta derivación suele ocurrir cuando no podemos despejar a una variable en términos de otra, así que derivamos las variables en términos de la misma variable independiente, esto es, la derivada de la escribiremos como cada que deba aparecer.

 

1

 

Procedamos derivando implícitamente. Nuestra función es

 

 

derivando obtenemos

 

 

Escribamos la derivada de una forma más conveniente

 

 

Dejemos los términos con en el lado izquierdo de la expresión

 

 

Podemos despejar del lado izquierdo

 

 

Por lo tanto, nuestra derivada es

 

 

2

 

Primero escribiremos nuestra expresión de una forma un poco más conveniente, posteriormente empezaremos a derivar

 

 

Derivemos

 

 

Simplifiquemos

 

 

Notemos que podemos factorizar del lado derecho

 

 

esto nos da como resultado

 

 

 

Problemas adicionales de derivación

 

1 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener esta derivada usaremos la fórmula de derivación de cociente de funciones

 

 

2 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 


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3 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Antes de resolver, aplicaremos propiedades de logaritmos para simplificar la expresión a algo más amigable

 

 

Dicho esto, la derivada de una constante es inmediata

 

 

4 Deriva la siguiente función

 

 

Para obtener la derivada se utiliza la regla de la cadena, en donde, dada la composición de dos funciones

 

 

su derivada es

 

 

Muchas veces se utiliza en vez de , es solo notación.

 

Dicho esto, resolvamos nuestra derivada

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗