Resumen de derivadas

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

Δy = [f(a+h) − f(a)]

Tasa de variación media

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica de la tasa de variación media

La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Interpretación geométrica de la derivada

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

m_t = f'(a)

Interpretación física de la derivada

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir la derivada del espacio respecto al tiempo.

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Derivadas laterales

Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Derivabilidad y continuidad

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.