Ejercicios para practicar la definición de continuidad y la de derivada  

1 Calcula el valor de la derivada en .

Recordemos que la derivada por definición de es la siguiente:

Sustituyendo los valores tenemos la siguiente expresión:

Desarrollamos, sumando la fracción superior:

Cancelamos términos:

Simplificamos la fracción:

Finalmente calculamos el límite:

Evaluamos en

2 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función , siendo el tiempo medido en horas. Se pide:
a La velocidad media de crecimiento.

b La velocidad instantánea de crecimiento.

c La velocidad de crecimiento instantáneo para  horas.

aLa velocidad media de crecimiento.

Recordemos que la ecuación para calcular la velocidad media es la siguiente:

Sustituyendo obtenemos:

bLa velocidad instantánea de crecimiento.

Recordemos que la velocidad instantánea es la derivada de la función, en este caso necesitamos calcular :

c La velocidad de crecimiento instantáneo para horas.

Como , para calcular la velocidad instantánea sustituimos:

3 Hallar los puntos en que no tiene derivada.

Primero, transformamos la función en una función a trozos:

Calculamos para que valores de se satisface que :


De esta manera, podemos concluir que la función se comporta por intervalos (considerando un valor para cada intervalo y observando el signo de la imagen):

Así, podemos reescribir la función de la siguiente manera:

Estudiamos la continuidad en y en

Para lo anterior, calculamos el valor de y sus límites por la derecha y la izquierda:

Como los valores coinciden en ambos casos, entonces la función es continua en toda .

Ahora, estudiamos la derivabilidad en y en :

Calculamos el límite por la izquierda y derecha de :

Las derivadas laterales de la función no coinciden por lo cual la función no será derivable en .

Calculamos el límite por la izquierda y derecha de :

Las derivadas laterales de la función no coinciden por lo cual la función no será derivable en .

4 Estudiar para qué valores de y la función es continua y derivable:

Primero, analicemos la continuidad

En tenemos:

Calculamos el valor de la imagen en :

Límite lateral izquierdo:

Límite lateral derecho:

Para que la función sea continua se debe satisfacer:

Después, analicemos la continuidad en :

El valor de la imagen de la función es el siguiente:

Límite lateral izquierdo:

Límite lateral derecho:

Para que la función sea continua en se debe satisfacer:

Así bien, si y la función es continua en
Después estudiemos la derivabilidad:

En 

Tenemos que el límite lateral izquierdo de la derivada es mientras que en  que el límite lateral derecho de la derivada es . Por lo cual, la función no es derivable en .

En  :

Tenemos que el límite lateral izquierdo de la derivada es y el límite lateral derecho de la derivada es . Como los límites coinciden entonces la función es derivable en .

5Determinar los valores del parámetro , para qué las tangentes a la curva de la función en los puntos de abscisas , sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en y sean iguales. Es decir_

.

Calculamos la derivada:

Y después, calculamos el valor de la derivada en y :

.

Sustituimos en la ecuación 1 y tenemos la siguiente igualdad:

Simplificamos y resolvemos:

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗