Continuidad en un intervalo cerrado

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b).

f es continua en a por la derecha:

Condiciones

f es continua en b por la iquierda:

Condiciones

Consecuencia

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.

Ejemplo

Estudiar la continuidad de Función en el intervalo [0, 4].

f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x² por ser una función polinómica es continua en toda .

f(x) es continua por la derecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua en toda .

Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.

f(2)= 4

límite

límite

Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].

intervalo