Cómo encontrar una la función inversa
Recordemos que la función inversa de 
se define como aquella función 
tal que 
y 
. Por lo tanto, la podemos obtener a partir de .
Asimismo, la función inversa de se suele denotar como 
(notemos que el 
en la expresión anterior no se refiere a un exponente negativo, sino que solo indica que es la función inversa).
Nota: en general, para que una función tenga una función inversa, es necesario que la función sea uno-a-uno (o biyectiva). Cuando no se cumple esto, es necesario restringir el dominio.
Recordemos que una función uno-a-uno es aquella función que a cada elemento del dominio le asigna un valor diferente en el rango. Es decir, si 
entonces 
.
Método para encontrar la función inversa
1 Sustituye a por 
.
2 Despera la variable 
. Por lo que obtenemos una expresión de la forma 
3 En 
sustituye las por .
4 Por último, cambia el del lado izquierdo por .
Ejemplo: Consideremos la función 
. Seguiremos el procedimiento para encontrar a la función inversa:
1 Sustituimos por : 
.
2 Despejamos :
donde 
3 Intercambiamos las por :
4 Luego cambiamos la del lado izquierdo por :
Por último, comprobamos que la función sí sea la inversa:
de donde podemos observar que se cumple que 
.
Ejercicios propuestos
1 Encuentra la función inversa de la siguiente función lineal:
Encontraremos la función sin enlistar los pasos. Tenemos 
, donde sustituimos por :
Luego, despejamos :
Por último, sustituimos for y por :
la cual es la función inversa.
2 Encuentra la función inversa de la siguiente función
Primero sustituimos por :
Luego despejamos :
Es decir,
Por último, sustituimos por y por :
la cual es la función inversa.
3 Encuenta la función inversa de la siguiente función (no es necesario que simpliques):
Empezamos sustituyendo por :
Luego despejamos . Para esto primero multiplicamos por 
:
Luego pasamos las a un lado de la ecuación y los términos restantes al otro:
Por último, dividimos por 
:
Por lo tanto, la función inversa es
4 Calcula la función inversa de la siguiente función cuadrática
Notemos que 
no es una función uno-a-uno (por ejemplo 
). Por lo tanto, no tiene una función inversa en todo el dominio.
Sin embargo, si consideramos como dominio al intervalo 
, entonces la función será uno-a-uno. En este caso, la inversa se obtiene de la siguiente manera:
Despejando (y utilizando el hecho de que 
en el dominio restringido):
Por lo tanto, en este caso la función inversa es
Por otro lado, si restringiéramos el dominio a 
, entonces la función inversa se obtiene de la siguiente manera:
Luego despejamos (que satisface 
):
Por consiguiente, la función inversa es
Esto significa que 
es la inversa de solo cuando el dominio son los números reales no-negativos . Si el dominio son todos los números reales, la función no tiene inversa.
5 Encuenca la función inversa de la siguiente función
Empezamos sustituyendo por :
Luego despejamos :
Por lo que la función inversa es
6 Encuenta la función inversa de la siguiente función:
Empezamos sustituyendo por :
Luego, recordemos que el logaritmo natural satisface que
Así, aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación:
de este modo,
Por tanto, la función inversa es
7 Encuentra la función inversa de la siguiente función
Las funciones radicales sí son uno-a-uno, por lo tanto, sí tiene función inversa:
donde sabemos que 
. Luego elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Por tanto, la función inversa es
donde (como hacemos el cambio de por , entonces al final es quien satisface que ).
En otras palabras, para que 
sea la función inversa de 
, se debe cumplir que tenga como dominio sólo a .
8 Encuentra la función inversa de
Sabemos que la función de raíz cubica es uno-a-uno, tiene como rango a todos los números reales, y su rango también son todos los números reales. Por lo tanto, tendrá una inversa cuyo dominio son todos los reales:
Elevamos al cubo ambos lados:
es decir,
Por lo tanto, la función inversa es
9 Encuentra la función inversa de
Asimismo, verifica que
a 
b 
Primero encontramos la función inversa, para eso sustituimos por :
Luego, despejamos :
es decir,
Ya tenemos despejada. Sin embargo, simplificamos un poco:
Por tanto, la inversa es
Ahora, verificamos lo que se nos pidió:
a Primero verificamos que . Para ello, sustituimos por su valor
Luego, evaluamos con el argumento dado,
Simplificamos,
es decir,
Por lo que se satisface la primera relación.
b Ahora verificaremos que . Primero sustituimos por su expresión:
Luego evaluamos :
es decir,
por tanto, la segunda relación también se cumple.
10 Calcula la inversa de la siguiente función
y verifica que .
Empezamos calculando la inversa, por lo que sustituimos por :
Luego, despejamos ; por lo que multiplicamos por 
:
Después, pasamos los términos con hacia el lado izquierdo de la igualdad, y los términos restantes al lado derecho:
Por lo tanto,
Es decir, la función inversa es
Ahora verificaremos que se cumpla que . Primero sustituimos la expresión de :
Ahora evaluamos la inversa:
Simplificamos:
Luego:
Por tanto, la relación sí se cumple.
11 Calcula la inversa de la función 
, luego depejamos para 
: 
Es decir,
12 Calcula la inversa de la función 
en el dominio apropiado.
. Entonces, buscamos la inversa en el rango 
. Comenzamos por sustituir , luego depejamos para : 
Es decir,
13 Calcula la inversa de la función 
, luego depejamos para : 
Es decir,
14 Calcula la inversa de la función 
, luego depejamos para : 
Es decir,
15 Calcula la inversa de la función 
, luego depejamos para : 
Es decir,
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Determinar el límite de la función 𝑓(𝑥) =
9
(𝑥+1)
2
cuando la x tiende al infinito
Funcion exponencial
Porque no se puede representar analíticamente la función inversa de F(x) = 1 – 2/x²
F(x)=1-2x resuelvan o expliquenme xfis todos estos f(x)6-x.
F(x)x-2
F(x)3x-1 es para hoy xfis
Un favor me podria ayudar este ejercicio?. Encontrar la funcion inversa f(x) = sen(x/2)
³√(x-3)/3