Comprender una función matemática implica mucho más que simplemente evaluarla para distintos valores de entrada. Para tener una visión completa, es fundamental analizar tres aspectos clave: el dominio, el recorrido y su representación gráfica.
Dominio: Es el conjunto de todos los valores de entrada (valores de xx) para los cuales la función está definida. Determinar el dominio implica identificar restricciones como divisiones por cero o raíces de índice par de números negativos.
Recorrido (rango): Es el conjunto de valores que puede tomar la función como resultado (valores de yy). Encontrar el recorrido requiere comprender el comportamiento global de la función y, a menudo, se apoya en su gráfica o en métodos algebraicos.
Gráfica: Representar una función en el plano cartesiano permite visualizar de forma clara su comportamiento: crecimientos, decrecimientos, máximos, mínimos, simetrías y puntos notables.
En este artículo, se presentarán ejercicios resueltos paso a paso que te ayudarán a identificar el dominio y el recorrido de diversas funciones, así como a trazar sus gráficas de forma razonada. Este análisis es esencial para profundizar en temas más avanzados del cálculo y para aplicar funciones en contextos reales.
Ejercicios propuestos
Resolver los siguientes ejercicios realizando lo que se indica en cada caso:
Hallar el dominio y el recorrido de las siguientes funciones definidas a trozos, y además representarlas gráficamente.
a 
b 
c 
a Comencemos con la gráfica de la función (notemos que en cero no esta definida)
A partir de la gráfica podemos notar que
Dominio: 
Recorrido: 
b Gráfica:
Notemos que
Dominio: 
Recorrido: 
c Observemos que la gráfica esta definida en todos los reales pero no es continua
Y de la gráfica
Dominio:
Recorrido: 
Hallar el dominio, el recorrido y representar gráficamente las siguientes funciones en valor absoluto:
a
b
c
a :
Se iguala a cero la función sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo
Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la 
es negativa se cambia el signo de la función
Recorrido : 
b
Se iguala a cero la función sin el valor absoluto y se calculan sus raíces.
Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo
Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la es negativa se cambia el signo de la función
Representamos la función resultante
Por lo tanto
c
Se iguala a cero la función sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo
Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la es negativa se cambia el signo de la función
es decir
La gráfica de la función resultante es
Entonces
Representa gráficamente las funciones de la parte entera de :
a 
b
a
Primero tabulemos un par de puntos y después realicemos la gráfica
|  |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 0.5 | 1.5 |
| 0.9 | 1.9 |
| 1 | 1 |
| 1.5 | 1.5 |
| 1.9 | 1.9 |
Gráfica:
b
Representa las funciones racionales y determina su centro
a 
b 
c 
d
e 
f 
g 
a
Hipérbola con gráfica
Y el centro de la hipérbola es:(0, 0)
b
Notemos que 
se desplaza 3 unidades hacia arriba, entonces
Por lo tanto el centro de la hipérbola es: (0, 3)
c
En este caso se desplaza 3 unidades hacia abajo, entonces
Entonces, el centro de la hipérbola es: (0, -3)
d
En este caso se desplaza 3 unidades hacia la izquierda
El centro de la hipérbola es: (−3, 0)
e
se desplaza 3 unidades hacia la derecha, entonces
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
f
Tenemos que se desplaza hacia la derecha 3 unidades y4 hacia arriba
El centro de la hipérbola es: (3, 4)
g
Notemos que
Es decir,
,
y de aquí es mas sencillo ver que 
se desplaza hacia la izquierda 1 unidad y 3 unidades hacia arriba.
El centro de la hipérbola es: (−1, 3)
Representa las funciones exponenciales:
a 
b
a
Notemos que
| |
|---|---|
| -3 | 1/27 |
| -2; | 1/9 |
| -1 | 1/3 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 9 |
| 3 | 27 |
b
Notemos que
pues al tabular tenemos algo así
| |
|---|---|
| −3 | 15.625 |
| −2 | 6.25 |
| −1 | 2.5 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0.4 |
| 2 | 0.16 |
| 3 | 0.064 |
Representa las funciones exponenciales:
a
b
a
Notemos que
| |
|---|---|
| -3 | 1/27 |
| -2; | 1/9 |
| -1 | 1/3 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 9 |
| 3 | 27 |
b
Notemos que
pues al tabular tenemos algo así
| |
|---|---|
| −3 | 15,625 |
| −2 | 6,25 |
| −1 | 2,5 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0,4 |
| 2 | 0,16 |
| 3 | 0,064 |
Representa las funciones logarítmicas:
a
b
a
Tabulamos unos puntos para ver el comportamiento
| |
|---|---|
| 1/8 | -3 |
| 1/4 | -2 |
| 1/2 | -1 |
| 1 | 0 |
| 2; | 1 |
| 4 | 2 |
| 8 | 3 |
Su representación gráfica quedaría
b
La gráfica que obtenemos es
Al igual que en el ejercicio anterior se podría tabular para ver su comportamiento.
Representa las funciones logarítmicas:
a
b
a
Tabulamos unos puntos para ver el comportamiento
| |
|---|---|
| 1/8 | -3 |
| 1/4 | -2 |
| 1/2 | -1 |
| 1 | 0 |
| 2; | 1 |
| 4 | 2 |
| 8 | 3 |
Su representación gráfica quedaría
b
La gráfica que obtenemos es
Al igual que en el ejercicio anterior se podría tabular para ver su comportamiento.
Representa las funciones trigonométricas:
a
b
a
| 0 | 0 |
|---|---|
| π/4 | -0.7 |
| π/2 | -1 |
| 3π/4 | -0.7 |
| π | 0 |
| 5π/4 | 0.7 |
| 3π/2 | 1 |
| 7π/4 | 0.7; |
| 2π | 0 |
b
| 0 | 0 |
|---|---|
| π/4 | 1 |
| π/2 | 0 |
| 3π/4 | -1 |
| π | 0 |
| 5π/4 | 1 |
| 3π/2 | 0 |
| 7π/4 | -1 |
| 2π | 0 |
Representa las funciones trigonométricas:
a
b
a
| 0 | 0 |
|---|---|
| π/4 | -0.7 |
| π/2 | -1 |
| 3π/4 | -0.7 |
| π | 0 |
| 5π/4 | 0.7 |
| 3π/2 | 1 |
| 7π/4 | 0.7; |
| 2π | 0 |
b
| 0 | 0 |
|---|---|
| π/4 | 1 |
| π/2 | 0 |
| 3π/4 | -1 |
| π | 0 |
| 5π/4 | 1 |
| 3π/2 | 0 |
| 7π/4 | -1 |
| 2π | 0 |
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
El Punto de inflexión en el ejercicio 2: f(x) = x^3 + x + 1 debe ser (0, 1)
Hola agradecemos tu comentario, tenias razón era un error que ya se corrigió.
la grafica esta mal echa de signos de cada cuadrante
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, podrías mencionar el número de ejercicio para poder rectificar esos errores que mencionas.
Se podría añadir un poco más de explicación a por que se hace cada paso ( ejemplo porque se divide todo por x ^2?)
Hola agradecemos que puedas darnos tu opinión, cuando surja una duda en este espacio de los comentarios estaremos atentos para darte una explicación con respecto a algo que no entiendas, exista un error o se pueda mejorar una explicación, solo comunícalo y te contestaremos.
Hola, en la parte SIGNOS DE CADA CUADRANTE, esta correcto, en el cuadrante 2 y 4 puede que esté al revés
Hola te agradecemos que visites la pagina, se supone que en el cuadrante 2 los signos (-,+) y en el 4 es (+,-), es así como aparecen?
Nose como se arrastra la imagen
Hola, nos encantaría poder ayudarte pero podrías mencionar el número del ejercicio y te diremos como puedes arrastrar la imagen al lugar que deseas.