Una función racional es aquella que viene dada por un cociente de polinomios, esto es,

 

 

con y polinomios sin factores comunes entre si.

 

Resulta conveniente notar que toda función polinómica es una función racional, basta considerar ; sin embargo una función racional no siempre es polinómica.

 

Ejemplo: las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

 

 

Ejemplo de funciones racionales representacion grafica

 

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones

 

 

con

 

Ejemplo de dos funciones racionales representacion grafica

 

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Vamos

Dominio de funciones racionales

 

A diferencia de las funciones polinómicas cuyo dominio son todos los números reales , las funciones racionales están definidas en todos los valores donde el denominador , es decir,

 

 

Ejemplo: Para la función racional

 

,

 

tenemos que por lo que su dominio es

 

,

 

que expresado en intervalos es

 

 

Asíntotas

 

Los valores donde el denominador de la función racional es cero dan origen a las asíntotas verticales, esto es, las asíntotas verticales son las rectas las cuales cumplen

 

 

Para encontrar las asíntotas oblícuas utilizamos

 

 

 

Ejemplo: Para la función racional

 

 

Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero

 

 

Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos

 

 

por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es

 

 

Cortes con los ejes coordenados

 

Para encontrar el corte con el eje tenemos que igualar la función a cero y encontrar los valores , esto es,

 

Para encontrar el corte con el eje tenemos que evaluar la función en , esto es,

 

Ejemplo: Para la función racional

 

 

no se tienen cortes con los ejes coordenados, ya que estos son asíntotas de la función

 

Comportamiento en el infinito

 

Para encontrar el comportamiento en el infinito basta con calcular los siguientes límites

 

 

Ejemplo: El comportamiento de la función

 

 

en el infinito es

 

 

por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función

 

Ejemplo de funciones racionales representacion grafica

 

Continuidad

 

Si el denominador no se anula para cualquier valor , entonces la función es continua en todos sus puntos.

 

Los valores donde se anula son los puntos de discontinuidad de la función racional, es decir, la función racional no es continua en las asíntotas verticales.

 

Ejemplo: La función racional

 

 

no es continua en

 

Singularidades

 

Estos puntos se obtienen derivando la función racional e igualando a cero. Los valores donde la derivada se anula son conocidos como puntos críticos. En estos puntos la función puede alcanzar su máximo o mínimo relativo.

 

No todas las funciones racionales poseen máximos ni mínimos en su dominio.

 

Ejemplo: La función

 

 

no tiene máximos ni mínimos en su dominio

 

Para esto calculamos la derivada

 

 

la cual no se anula en el dominio de la función, por tanto la función no tiene máximos ni mínimos en su dominio.

 

Ejercicios de funciones racionales

 

Encontrar la gráfica, dominio, asíntotas, cortes con los ejes coordenados, comportamiento en el infinito, continuidad y singularidades de las funciones racionales

 

1

1 La gráfica de la función es

 

funcion racional 3

 

2 Dominio de la función

 

tenemos que por lo que su dominio es

 

,

 

que expresado en intervalos es

 

 

3 Asíntotas

 

Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero. Así la asíntota vertical es

 

 

Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos

 

 

por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es

 

 

4 Cortes con los ejes coordenados

 

no se tienen cortes con los ejes coordenados, ya que estos son asíntotas de la función

 

5 Comportamiento en el infinito

 

Calculamos

 

 

por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función

 

6 Continuidad

 

La función tiene asíntota vertical en

 

luego la función no es continua en

 

7 Singularidades

 

La función no tiene máximos ni mínimos en su dominio

 

Para esto calculamos la derivada

 

 

la cual no se anula en el dominio de la función, por tanto la función no tiene máximos ni mínimos en su dominio.

 

2

1 La gráfica de la función es

 

funcion racional 4

 

2 Dominio de la función

 

Tenemos que la cual nunca se anula en los números reales por lo que su dominio es

 

,

 

que expresado en intervalos es

 

 

3 Asíntotas

 

Calculamos las asíntotas verticales, para lo cual buscamos los valores que hacen el denominador cero. Como el numerador nunca es cero, tenemos que no existen asíntotas verticales

 

Calculamos las asíntotas oblícuas, para lo cual buscamos

 

 

por lo que se trata de una asíntota horizontal, la cual es

 

 

4 Cortes con los ejes coordenados

 

No se tienen cortes con el eje coordenado , ya que este es asíntota de la función

 

El corte con el eje coordenado es

 

 

5 Comportamiento en el infinito

 

Calculamos

 

 

por lo que en el infinito la función tiende a cero, esto es, la altura de la gráfica se aproxima a cero lo cual puede observarse de la gráfica de la función

 

6 Continuidad

 

La función no tiene asíntota vertical por lo que es continua en todo el dominio

 

7 Singularidades

 

Calculamos la derivada

 

 

Igualando la derivada a cero, obtenemos el punto crítico

 

Calculamos la segunda derivada

 

 

Evaluamos el punto crítico en la segunda derivada

 

 

Luego la función posee un máximo en

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗