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Vamos

Definición

 

La función exponencial es aquella que a cada valor real le asigna la potencia con y . Esta función se expresa

 

 

el número se denomina base.

 

Gráficas de funciones exponenciales

Estudiemos el comportamiento de la función exponencial de acuerdo a su base

 

Construimos una tabla de valores para

 

-3 1/8
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8

Trazamos la gráfica

 

Gráfica de una función exponencial
Ahora construimos una tabla de valores para

 

-3 8
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8

Trazamos la gráfica

 

Graficación de una función exponencial

 

Observamos que la primera función es estrictamente creciente, mientras que la segunda es estrictamente decreciente; además ambas son simétricas respecto al eje

 

Gráfica de 2 funciones exponenciales

 

Función exponencial natural

Esta se denota por donde está dado por

 

 

Esta notación fue introducida por Leonhard Euler hacia 1730, al descubrir muchas propiedades de este número. El número es irracional y sus primeras diez cifras decimales son .

 

Propiedades de la función exponencial

 

1 Dominio: .

 

2 Recorrido: .

 

3 Es continua.

 

4Los puntos y pertenecen a la gráfica.

 

5 Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

 

6 Creciente si .

 

7 Decreciente si .

 

8 Las curvas y son simétricas respecto al eje .

 

9 La función exponencial , con eventualmente crece más rápido que la función potencia para cualquier .

 

10 La función inversa de la función exponencial es . La función inversa de la exponencial natural es .

 

Aplicaciones de la función exponencial

Las funciones exponenciales se emplean para modelar una amplia variedad de fenómenos como el crecimiento de poblaciones y las tasas de interés.

 

Crecimiento y decrecimiento exponencial

La fórmula que se emplea para modelar el crecimiento de una población viene dada por

 

 

La función crece exponencialmente y representa la cantidad de la población a tiempo ; representa la constante de crecimiento o decrecimiento; si se llama constante de crecimiento, mientras que si se llama constante de decrecimiento. representa la población inicial a tiempo cero, esto es, .

 

La fórmula anterior se encuentra expresada en función de la exponencial natural, pero en algunas ocasiones se expresa con base , esto es sencillo de obtener, basta aplicar las propiedades de los exponentes a y considerar para obtener

 

 

Ejemplo: Un grupo de investigadores estudian un cultivo de bacterias. Si al inicio de la observación  se tienen bacterias y media hora después se tienen , encuentra:

 

1 La cantidad de bacterias al cabo de dos horas.

2 La cantidad de bacterias al cabo de tres horas.

3 La tasa promedio de cambio de la población durante la segunda hora.

4 El tiempo requerido para duplicar la población inicial.

5 ¿Cuándo llegará la población a ser igual a ?

 

Para poder responder a lo solicitado, primero necesitamos conocer en la fórmula de crecimiento poblacional con expresado en minutos.

 

Notamos que conocemos la población inicial , pero nos falta el valor de la constante de crecimiento. Para encontrar el valor de utilizamos los datos del problema: en la fórmula de crecimiento

 

 

Dividiendo ambos lados por y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

 

 

Así la función que modela el crecimiento de la población de bacterias es

 

 

1 La cantidad de bacterias al cabo de dos horas es

 

 

2 La cantidad de bacterias al cabo de tres horas

 

 

3 La tasa promedio de cambio de la población durante la segunda hora

 

Durante la segunda hora, el tiempo de a , la población cambió en , por lo que la tas promedio en este periodo de tiempo es

 

 

La población aumenta a la tasa promedio aproximada de bacterias por minuto durante la segunda hora.

 

4 El tiempo requerido para duplicar la población inicial

 

Para esto empleamos la siguiente igualdad

 

 

Dividiendo ambos lados por y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

 

 

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias se duplique es minutos.

 

5 ¿Cuándo llegará la población a ser igual a ?

 

Para esto empleamos la siguiente igualdad

 

 

Dividiendo ambos lados por y aplicando la función inversa de la exponencial natural, se obtiene

 

 

Así el tiempo requerido para que la población de bacterias sea de es de minutos.

 

 Interés compuesto

Se invierte una cantidad inicial de dinero a una tasa de interés expresada en decimales. Si el interés se capitaliza una sola vez, entonces el saldo a obtener después de sumar el interés es

 

 

Si el interés se capitaliza más de una vez, el interés que se suma a la cuenta durante un periodo ganará interés durante los periodos siguientes. Si la tasa anual de interés es y el interés se capitaliza veces por año, entonces al final de años, el interés se capitalizó veces y el saldo llamado valor futuro es

 

 

Ejemplo: Si se invierten a una tasa de anual. Hallar el valor futuro a años si el interés es compuesto trimestralmente.

 

Para encontrar el valor futuro después de años si el interés se capitaliza trimestralmente, empleamos .

 

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

 

 

El saldo obtenido después de años es de

 

Interés compuesto continuamente

Para saber el saldo de una inversión al final de años cuando la frecuencia de capitalización se incrementa sin límite, esto es, el interés no se capitaliza trimestral, ni mensual, ni diariamente, sino continuamente, se emplea la fórmula

 

 

Ejemplo: Si se invierten a una tasa de anual. Hallar el valor futuro a años si el interés es compuesto continuamente.

 

Para encontrar el valor futuro después de años si el interés se capitaliza continuamente, empleamos .

 

Sustituimos los valores en la fórmula del valor futuro

 

 

El saldo obtenido después de años es de y es el límite superior para el saldo posible.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗