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Vamos

Definición de valor absoluto

 

El valor absoluto es una función, denotada como    que se encuentra definida sobre todos los números reales y que devuelve, por cada número real, su respectivo valor positivo.

 

Por ejemplo, para un número real positivo    su valor absoluto    será igual a él mismo, o sea    Mientras que para un número real negativo    tendrá como valor absoluto a    por lo tanto  

 

Funciones a trozos

 

Una función a trozos es una función que tiene definiciones distintas en "trozos" (o conjuntos de números) distintos. Por ejemplo

 

 

es una función a trozos.

 

Como podemos ver, hemos definido de manera sencilla la función valor absoluto representándola como una función a trozos. Ésta es una técnica común al estudiar funciones en valor absoluto, pues al expresarlas como funciones a trozos será más fácil graficarlas y entender su comportamiento.

Transformación a función a trozos

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

  1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
  2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
  3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la es negativa se cambia el signo de la función.
  4.  Representamos la función resultante.

 

Ejemplos

 

Resolveremos los siguientes problemas usando los pasos anteriores

1.Transformar la función valor absoluto    en una función a trozos.

 

Paso 1. Debemos igualar a cero la función, sin el valor absoluto, y calcular las raíces de la ecuación resultante.

 

Igualando a cero

 

y sumando 3 en ambos lados de la igualdad anterior    tenemos que  . En este caso, 3 es raíz de la ecuación.

 

Paso 2. Se forman intervalos con la raíz y se evalúa el signo de cada intervalo.

 

Dado que el valor de la raíz es    este es nuestro punto de referencia. Tal y como vemos en la figura la ecuación será positiva si tomamos valores de mayores a    y negativa si tomamos valores de menores a .

 

linea de valor absoluto

 

Paso 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde    es negativo se cambia el signo de la función.

 

 

Paso 4. Finalmente podemos representar  la función graficamente. Ya que    es la raíz de nuestra ecuación inicial, entonces es nuestro punto de referencia, entonces la función será decreciente para valores menores a    y creciente para valores mayores a    tal y como se oberva en la figura.

función valor absoluto en 3

 

2.Transformar la función valor absoluto    en una función a trozos.

 

Paso 1. Igualamos a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

En este caso, nuestra ecuación es    y utilizando la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado

 

 

donde      y   Entonces, tenemos que

 

 

 

 

 

Paso 2. Se forman intervalos con la raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

 

Al evaluar la ecuación  en distintos valores, por ejemplo para    y
  tenemos que

 

 

 

 

Esto quiere decir que la ecuación toma valores negativos para    y valores positivos para     y    tal y como vemos en la figura.

 

valor absoluto de una ecuación cuadratica

 

Paso 3. Dada la información anterior podemos definir la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función

 

 

Paso 4. Finalmente representamos la función graficamente.

 

Ya que la función es cuadratica, la grafica debe ser similar a una parábola, solo  debemos tener en cuenta los lugares donde la función es positiva, negativa y donde se anula.

 

Podemos ver cómo la grafica coincide con la información obtenida anteriormente

 

parabola y valor absoluto

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗