Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Diagramas

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x

Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Gráfica

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función: inversa.

La inversa de la función f(x) = x + 4 es inversa

La función inversa de f(x) = x + 4 es f–1(x) = x – 4 porque la composición de las dos funciones es la función identidad

g ∘ f = g[f(x)] = g(x + 4) = x + 4 – 4 = x

Cálculo de la función inversa

1Se escribe la función con x e y.

2Se despeja la variable x en función de la variable y.

3Se intercambian las variables.

Ejemplos

Calcular la función inversa de:

1 función

Cambiamos f(x) por y

Quitamos denominadores

operaciones

Quitamos paréntesis y pasamos al primer miembro las x

operaciones

Sacamos común x y la despejamos

operaciones

Cambiamos x por f–1(x)

operaciones

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

operaciones

operaciones


2 función inversa

Cambiamos f(x) por y

Elevamos al cubo en los dos miembros

función inversa

Despejamos la x y cambiamos x por f–1(x)

función inversa


1 3 función inversa

Cambiamos f(x) por y

Despejamos la x

función inversa

función inversa

No existe función inversa porque cualquier elemento tiene dos imágenes y una función puede tener a lo sumo una imagen