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En ocasiones, cuando realizamos una prueba de hipótesis para la media, nuestra hipótesis nula pueden ser de la forma
por lo que la hipótesis alternativa sería
Otra posibilidad es que la hipótesis nula sea del tipo
de modo que la hipótesis alternativa es
Procedimiento y fórmulas del contraste unilateral
Consideramos ambos casos por separado, empezando con el caso "menor o igual que".
Caso "menor o igual que"
En este caso, la hipótesis nula es del tipo
en el caso de la media. De modo que la hipótesis alternativa es
En este caso, rechazaríamos la hipótesis nula si la media muestral es mucho mayor a la media hipotética. La región de rechazo se muestra en la siguiente imagen, donde podemos apreciar que esta región de rechazo se concentra en la cola derecha de la distribución.
En este caso, la región de aceptación es
en donde 
es el valor crítico para la significación 
, 
es la desviación estándar de la población y 
es la media hipotética.
Caso "mayor o igual que"
Para este caso, la hipótesis nula es del tipo
mientras que la hipótesis alternativa es
Aquí, rechazaríamos la hipótesis nula si la media 
de la muestra es muy inferior a la media hipotética. En la siguiente imagen se muestra la región de rechazo, la cual se concentra en la cola izquierda de la distribución:
Por último, la región de aceptación en este caso está dada por
Al igual que en el caso anterior, es el valor crítico para la significación , es la desviación estándar de la población y es la media hipotética.
Prueba de hipótesis para una proporción
En el caso de una proporción, si la hipótesis nula es de la forma
y la hipótesis alternativa es del tipo
entonces la región de aceptación en este caso está dada por
Por otro lado, si la hipótesis nula es de la forma
y la hipótesis alternativa es del tipo
entonces la región de aceptación estaría dada por
Valores críticos
Los valores críticos para valores de significación comunes se resumen en la siguiente tabla:
 | | |
|---|---|---|
| 0.90 | 0.10 | 1.28 |
| 0.95 | 0.05 | 1.645 |
| 0.99 | 0.01 | 2.33 |
Ejemplos de problemas con el contraste unilateral
1 Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos con derecho a votar, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determina con un nivel de significación del 1% si se puede admitir el pronóstico.
Para realizar la prueba de hipótesis, haremos cada uno de los pasos.
a Comenzamos enunciando las hipótesis nula y alternativa. La hipótesis nula es
es decir, la abstención será del 40% como mínimo. Luego, enunciamos la hipótesis alternativa:
que significa que la abstención será menor al 40%. Observemos que se trata de una contraste unilateral del tipo "mayor o igual que".
b Después, construimos la región de aceptación. En este caso, a la significación 
le corresponde un valor crítico de 
. Así, la región de aceptación es
c Ahora verificamos si la proporción muestral está en el la región de aceptación. Notemos que 75 de los individuos están dispuestos a votar, por lo que 125 se abstendrían. Es decir, la proporción de abstenciones en la muestra es
d Notemos que 
se encuentra dentro de la región de aceptación. Por tanto, podemos aceptar la hipótesis nula. Es decir, concluimos que la abstención será de al menos el 40%.
2 Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €.
¿Existe evidencia suficiente para rechazar la afirmación de partida, con un nivel de significación de 0.1?
Al igual que en los casos anteriores, realizamos los pasos de la prueba de hipótesis.
a Primero, enunciamos las hipótesis nula y alternativa. La hipótesis nula es
mientras que la hipótesis alternativa es
Como se trata de una hipótesis del tipo "menor o igual que", entonces realizamos un contraste unilateral.
b Construimos la región de aceptación para . Observemos que a una significación 
le corresponde un valor crítico 
. En este caso, la región de aceptación está dada por
c Verificamos la media muestral, la cual fue 
.
d Así, como la media muestral no se encuentra dentro de la región de aceptación, entonces rechazamos la hipótesis nula. Es decir, concluimos que hay evidencia suficiente para afirmar que el precio es mayor a 120 €, contrario a lo que indica el informe.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
En la siguiente tabla se presentan las cantidades promedio de jugo de frutas que empacan, en bolsas de litro, tres máquinas empacadas de una agroindustria.
-MAQUINAS
A
B
C
-PROMEDIO EMPACADO POR BOLSA
1.039 LTS
0.989 LTS
1.090 LTS
-DESVIACIÓN ESTANDAR
0.332 LTS
0.350 LTS
0.371 LTS
¿Cuál de las 3 máquinas tiene la cantidad promedio de empacado por bolsa más confiable? ¿Por qué?
ejercicio. En una ciudad de 100.000 habitantes, se quiere estimar la proporción de personas que utilizan bicicleta como medio de transporte. ¿Cuántas personas deben incluirse en la muestra para obtener un margen de error del 5% con un nivel de confianza del 95%?
10.- Las estaturas de cierta población se distribuyen N(168,8). Calcula la probabilidad de que en una muestra de 36 personas la altura media no difiera de la de la población en más de 1 cm.
28 28 28 28 24 24 20 20 20 20 20 25 25 25 27 27 27 26 22 22 22
En una escuela de 150 estudiantes se requiere realizar una investigación sobre las preferencias de las áreas de los estudiantes y se debe calcular su muestra para conocer cuántos estudiantes se le debe aplicar la encuesta, determinando que el grado de confianza es del 95%, la probabilidad de éxito de 98% y el error de calculo del 6%.
Caso de estudio: En el Perú, el Ministerio de Salud (MINSA) está interesado en conocer la prevalencia de la depresión en los adolescentes de 12 a 17 años de edad en la ciudad de Lima. Para ello, el MINSA decide realizar una encuesta a una muestra de adolescentes de esta población.
Objetivo:
El objetivo del caso de estudio es que los estudiantes apliquen la fórmula para estimar una proporción poblacional para estimar la prevalencia de la depresión en los adolescentes de 12 a 17 años de edad en la ciudad de Lima. También, debe indicar el tipo de muestreo probabilístico que deberá emplear.
¿Cuál debe ser el tamaño de muestra para estimar la prevalencia de la depresión, con un nivel de confianza del 95%, margen de error de 4%, e indica el método de selección de la muestra
La experiencia con los trabajado indica que el tiempo requerido para que un trabajador cualquiera termine un trabajo, es una variable con distribución aproximada a la normal con una media de 145 minutos y una desviación estándar de 12 minutos. Se lleva a cabo un programa de capacitación con el propósito de mejorar la destreza de los trabajadores y disminuir así el tiempo medio. Para verificar los resultados de dicho programa se toma al azar una muestra de 16 trabajadores y si esta muestra arroja un tiempo medio mayor que 139 minutos se aceptará la hipótesis de que el tiempo medio sigue siendo de 145 minutos. Pruebe la hipótesis con un nivel de significancia del 5%.
Una empresa de seguros ha estado aplicando diferentes técnicas para incrementar sus ventas durante los últi mos 6 meses. El promedio de ventas por semestre es de 54 ventas diarias, con una muestra aleatoria de 60 días de los últimos 6 meses, se obtiene que en promedio hay 60 ventas diarias con una desviación estándar de 28 Con un nivel de significación de 5%, es posible asegu rar que el promedio de ventas aumento?
A una muestra aleatoria de 150 alumnos de la universidad, se le preguntó si había estudiado el idioma inglés. 75 respondieron Sí, 55 respondieron No y 20 no opinaron. a. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de la proporción de la población que responde Sí?. b. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de la proporción de la población que respondió No?. c. Encuentre el intervalo de confianza del 90% para la proporción poblacional que respondieron Sí. Fuente de ingresos Frecuencia Propina sólo domingos 149 Quehaceres, dádivas y domingos 219 Quehaceres y dádivas, no domingos 251 Nada 165 T o t a l 784
Se quiere hacer un estudio para conocer el número de mujeres casadas que van a consulta ginecológicas en una población, por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de 1 mujeres, el investigador considera que el margen de error es de 9% y el coeficiente de confianza es de 91%.