En ocasiones, cuando realizamos una prueba de hipótesis, nuestra hipótesis nula pueden ser de la forma
para la media, o
si se trata de una proporción.
En este caso, la hipótesis alternativa es del tipo
cuando se trata de la media, o
para la proporción.
Procedimiento y fórmulas del contraste bilateral
A partir de aquí consideramos sólo la prueba de hipótesis para la media. El procedimiento es muy similar para las proporciones y se indicará cuando sea diferente.
Observemos que la hipótesis nula es una igualdad. Por lo tanto, rechazaremos la hipótesis nula cuando la media muestral sea mucho mayor o mucho menor a la hipotética.
En otras palabras, la región de rechazo se divide en dos regiones alejadas de la media. Estas regiones (o colas) de la región de rechazo son simétricas respecto a la media hipotética. Además, la probabilidad 
de estas regiones se conoce como el nivel de significación.
Por tanto, en este caso la región de aceptación es el intervalo de probabilidad 
para 
. Este intervalo se obtiene al descargar las colas de la región de rechazo y está dado por
en el caso de la prueba de hipótesis para la media hipotética 
.
Por otro lado, si hacemos una prueba de hipótesis para la proporción 
, entonces la región de aceptación está dada por
En estas regiones, 
es el tamaño de muestra, 
es el valor crítico, es la media hipotética y 
es la proporción hipotética.
Los valores críticos para la significancia se resumen en la siguiente tabla:
|  |  | Intervalos característicos |
|---|---|---|---|
| 0.90 | 0.05 | 1.645 |  |
| 0.95 | 0.025 | 1.96 |  |
| 0.99 | 0.005 | 2.575 |  |
Observemos que esta prueba de conoce como bilateral ya que la hipótesis se rechaza si la media (o proporción) muestral es mucho mayor o menor que la hipotética, es decir, la hipótesis se puede rechazar en ambos lados de (o ).
Ejemplo resuelto del contraste bilateral
1 Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?
Realizamos los pasos para hacer una prueba de hipótesis:
a Primero enunciamos las hipótesis nula y alternativa. La hipótesis nula es
es decir, que la nota promedio es 6. Por otro lado, la hipótesis alternativa es
que significa que la nota promedio es diferente a 6. Observemos que como la hipótesis nula es una igualdad, entonces haremos un constraste bilateral.
b Luego construimos la zona de aceptación. Como tenemos que el nivel de confianza es 95%, entonces el nivel de significancia es 
. A este valor de significancia le corresponde el valor crítico
De este modo, el intervalo de aceptación para la media es
es decir,
c Después realizamos la verificación: la media obtenida en la muestra es de 5.6.
d Por tanto, decidimos que la hipótesis nula 
se acepta debido a que 
se encuentra dentro del intervalo de aceptación. Es decir, concluimos que no hay evidencia suficiente para decir que la media es diferente a 6.
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En la siguiente tabla se presentan las cantidades promedio de jugo de frutas que empacan, en bolsas de litro, tres máquinas empacadas de una agroindustria.
-MAQUINAS
A
B
C
-PROMEDIO EMPACADO POR BOLSA
1.039 LTS
0.989 LTS
1.090 LTS
-DESVIACIÓN ESTANDAR
0.332 LTS
0.350 LTS
0.371 LTS
¿Cuál de las 3 máquinas tiene la cantidad promedio de empacado por bolsa más confiable? ¿Por qué?
ejercicio. En una ciudad de 100.000 habitantes, se quiere estimar la proporción de personas que utilizan bicicleta como medio de transporte. ¿Cuántas personas deben incluirse en la muestra para obtener un margen de error del 5% con un nivel de confianza del 95%?
10.- Las estaturas de cierta población se distribuyen N(168,8). Calcula la probabilidad de que en una muestra de 36 personas la altura media no difiera de la de la población en más de 1 cm.
28 28 28 28 24 24 20 20 20 20 20 25 25 25 27 27 27 26 22 22 22
En una escuela de 150 estudiantes se requiere realizar una investigación sobre las preferencias de las áreas de los estudiantes y se debe calcular su muestra para conocer cuántos estudiantes se le debe aplicar la encuesta, determinando que el grado de confianza es del 95%, la probabilidad de éxito de 98% y el error de calculo del 6%.
Caso de estudio: En el Perú, el Ministerio de Salud (MINSA) está interesado en conocer la prevalencia de la depresión en los adolescentes de 12 a 17 años de edad en la ciudad de Lima. Para ello, el MINSA decide realizar una encuesta a una muestra de adolescentes de esta población.
Objetivo:
El objetivo del caso de estudio es que los estudiantes apliquen la fórmula para estimar una proporción poblacional para estimar la prevalencia de la depresión en los adolescentes de 12 a 17 años de edad en la ciudad de Lima. También, debe indicar el tipo de muestreo probabilístico que deberá emplear.
¿Cuál debe ser el tamaño de muestra para estimar la prevalencia de la depresión, con un nivel de confianza del 95%, margen de error de 4%, e indica el método de selección de la muestra
La experiencia con los trabajado indica que el tiempo requerido para que un trabajador cualquiera termine un trabajo, es una variable con distribución aproximada a la normal con una media de 145 minutos y una desviación estándar de 12 minutos. Se lleva a cabo un programa de capacitación con el propósito de mejorar la destreza de los trabajadores y disminuir así el tiempo medio. Para verificar los resultados de dicho programa se toma al azar una muestra de 16 trabajadores y si esta muestra arroja un tiempo medio mayor que 139 minutos se aceptará la hipótesis de que el tiempo medio sigue siendo de 145 minutos. Pruebe la hipótesis con un nivel de significancia del 5%.
Una empresa de seguros ha estado aplicando diferentes técnicas para incrementar sus ventas durante los últi mos 6 meses. El promedio de ventas por semestre es de 54 ventas diarias, con una muestra aleatoria de 60 días de los últimos 6 meses, se obtiene que en promedio hay 60 ventas diarias con una desviación estándar de 28 Con un nivel de significación de 5%, es posible asegu rar que el promedio de ventas aumento?
A una muestra aleatoria de 150 alumnos de la universidad, se le preguntó si había estudiado el idioma inglés. 75 respondieron Sí, 55 respondieron No y 20 no opinaron. a. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de la proporción de la población que responde Sí?. b. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de la proporción de la población que respondió No?. c. Encuentre el intervalo de confianza del 90% para la proporción poblacional que respondieron Sí. Fuente de ingresos Frecuencia Propina sólo domingos 149 Quehaceres, dádivas y domingos 219 Quehaceres y dádivas, no domingos 251 Nada 165 T o t a l 784
Se quiere hacer un estudio para conocer el número de mujeres casadas que van a consulta ginecológicas en una población, por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de 1 mujeres, el investigador considera que el margen de error es de 9% y el coeficiente de confianza es de 91%.