La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por σ².

varianza

varianza

Ejemplos:

1 Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18.

Calculamos la media aritmética

media

Calculamos la varianza

varianza

2Calcular la varianza de la distribución: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Calculamos la media aritmética

media

varianza

Varianza para datos agrupados

varianza

varianza


Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

varianza

varianza

Ejemplo:

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

  xi fi xi · fi xi² · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
    42 1820 88050

Hemos añadido la columna xi · fi porque queremos hallar su sumatoria (1820), que después dividiremos por N (42) para obtener la media

media

Hemos añadido la columna x²i · fi porque queremos hallar su sumatoria (88050), que después dividiremos por N (42) y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado (43.33²)

varianza

Propiedades de la varianza

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

varianzas

Si las muestras tienen distinto tamaño:

varianzas

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.