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Vamos

Resolución por sustitución y método gráfico

 

1 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de sustitución y el método gráfico.

 

 

1 Empezamos resolviendo el sistema por sustitución:

 

El método de sustitución involucra despejar una de las dos variables de alguna ecuación y sustituirla en la otra. Despejaremos de la segunda ecuación:

 

 

Notemos que escogimos la segunda ecuación ya que está igualada a 0; esto hace el procedimiento ligeramente más sencillo. Ahora sustituimos el valor de en la primera ecuación

 

 

Por lo tanto, . Luego, sustituimos el valor de en la expresión que tenemos para :

 

 

Por tanto, la solución es .

 

2 Ahora resolvemos el sistema con el método gráfico:

 

El método gráfico involucra solo graficar las dos rectas. La intersección será la solución del sistema:

 

imagen

 

De la gráfica anterior podemos observar que la solución es y . No obstante, recordemos que debemos ser muy precisos al momento de graficar.

 

2 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de sustitución:

 

 

Una ventaja del método de sustitución es que no es necesario simplificar el sistema de ecuaciones para empezar a resolver. Por tanto, podemos empezar a resolver inmediatamente.

 

Primero, despejamos de la segunda ecuación:

 

 

Luego, sustituimos el valor de en la primera ecuación:

 

 

De aquí, se sigue que . Ahora, sustituimos el valor de en la expresión que teníamos para :

 

 

Por tanto, la solución al sistema es y .

 

Resolución por igualación

 

Recordemos que el método de igualación sólo se puede utilizar para resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables. Solamente este método y el método gráfico están limitados para sistemas de .

 

3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:

 

 

Para resolver el sistema por igualación debemos despejar una variable de ambas ecuaciones. Despejamos de ambas ecuaciones:

 

 

de donde obtenemos . Para la segunda ecuación tenemos

 

 

por tanto y . Ahora, igualamos ambas ecuaciones

 

 

De esa ecuación despejamos :

 

 

por lo que . Luego, sustituimos el valor de en la primera ecuación

 

 

por lo que . Por tanto, la solución es y .

 

4 Utilizando el método de igualación, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

 

 

Al igual que en el caso anterior, para resolver por igualación debemos despejar alguna variable de ambas ecuaciones. En este caso despejaremos . En la primera ecuación obtenemos:

 

 

Mientras que para la segunda ecuación obtenemos:

 

 

Igualando las ecuaciones, tenemos

 

 

por lo que

 

 

de manera que . Luego, sustituyendo en la primera ecuación, tenemos

 

 

por lo que . Así, la solución es y .

 

Resolución por reducción

 

Recordemos que el método de reducción debemos eliminar las de todas las ecuaciones, excepto la primera. Luego debemos eliminar las de todas las ecuaciones, excepto la primera y la segunda ecuación.

 

Este método es igual a la eliminación gaussiana, con la única diferencia de que no utilizamos la matriz asociada al sistema.

 

5 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción:

 

 

Necesitamos eliminar las de la segunda ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por y luego restamos el resultado a la segunda ecuación:

 

 

Ahora, a la segunda ecuación le resultamos la ecuación anterior:

 

 

De aquí se sigue que . Luego, sustituimos el valor de en la primera ecuación:

 

 

Por lo tanto .

 

Observemos que el sistema es el mismo del primer ejercicio y llegamos a la misma solución pese a que utilizamos un método diferente.

 

6 Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de reducción:

 

 

Antes de aplicar el método de reducción, debemos escribir el sistema de forma que los términos independientes estén del lado derecho. Para ello, multiplicamos ambas ecuaciones por 2:

 

 

Luego, pasamos las variables al lado izquierdo de las ecuaciones:

 

 

Ahora, a la segunda ecuación le sumamos la primera:

 

 

De aquí se sigue que . Luego, sustituimos el valor de en la primera ecuación:

 

 

Por tanto, la solución es y .

 

Resolución utilizando cualquier método

 

7 Resuelve el siguiente sistema utilizando cualquier método:

 

 

El sistema lo podemos resolver por sustitución. Primero despejamos de la segunda ecuación

 

 

Luego, sustituimos el valor de en la primera ecuación:

 

 

Por lo tanto, la primera ecuación se convierte (al pasar las constantes del lado derecho y las variables del lado izquierdo) en

 

 

que, al despejar , obtenemos

 

 

Luego, sustituyendo el valor de en la expresión que tenemos para , obtenemos

 

 

Por tanto, la solución es y

 

8 Halla las soluciones del siguiente sistema:

 

 

Para resolver este sistema, primero debemos eliminar las fracciones (quitar los denominadores). Para ello, multiplicamos las ecuaciones por el mínimo común multiplo de los denominadores. Para la primera ecuación tenemos:

 

 

por lo que . Mientras que para la segunda ecuación tenemos:

 

 

de donde obtenemos . Así, el sistema de ecuaciones se convierte en:

 

 

Ahora resolvemos el sistema de la manera que deseemos. Aquí lo haremos por sustitución. Así, primero despejamos de la segunda ecuación:

 

 

Luego, sustituimos el valor de en la primera ecuación:

 

 

de modo que o . Luego, sustituimos el valor de en la expresión que teníamos para :

 

 

Por tanto, la solución es y .

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗