Pasos para resolver inecuaciones de segundo grado

Primer caso: Δ > 0

Vamos a resolver la inecuación: x² − 6x + 8 > 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x² − 6x + 8 = 0

solución a la ecuación

Las soluciones son raíces reales distintas porque el discriminante es mayor que cero (Δ > 0)


Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

Los puntos extremos están en blanco porque no pertencen a la solución, ya que no es mayor o igual

gráfica

P(0) = 0² − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 3² − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 5² − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

gráfica

Los intervalos son abiertos porque 2 y 4 no están incluidos en la solución

x ∈ (-∞, 2) Unión [4, ∞)

Otras posibles variaciones

1Si la ecuación fuese x² − 6x + 8 ≥ 0 la solución sería:

x ∈ (-∞, 2] Unión (4, ∞]

Al ser mayor igual, 2 y 4 pertencen a la solución

2Si la ecuación fuese x² − 6x + 8 < 0 la solución sería:

x ∈ (2, 4)

3Si la ecuación fuese x² − 6x + 8 ≤ 0 la solución sería:

x ∈ [2, 4]

Al ser menor o igual, 2 y 4 pertencen a la solución

Segundo caso: Δ = 0

Consideremos el caso en el que discriminante es cero.

x² + 2x +1 ≥ 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

x² + 2x +1 = 0

solución

Obtenemos una raíz doble. Factorizamos:

(x + 1)² ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R

Otras posibles variaciones

    Solución
x² + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)² ≥ 0 R
x² + 2x +1 > 0 (x + 1)² > 0 R-1
x² + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)² ≤ 0 x = − 1
x² + 2x +1 < 0 (x + 1)² < 0 vacio

Tercer caso: Δ < 0

Consideremos el caso en que discriminante es menor que cero.

x² + x +1 > 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y resolvemos la ecuación

x² + x + 1 = 0

solución

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor, por ejemplo, x = 0

0² + 0 +1 > 0

Como se cumple la desigualdad, la solución es R.

Si no cumpliera la desigualdad, no tendría solución.

  Solución
x² + x +1 ≥ 0 R
x² + x +1 > 0 R
x² + x +1 ≤ 0 vacio
x² + x +1 < 0 vacio

 

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

Pasos para resolver inecuaciones racionales

Vamos a resolver la inecuación: inecuación

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

x − 2 = 0      x = 2

x − 4 = 0      x = 4

Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

gráfica

Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

inecuación

signos

signos

signos

gráfica

La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

x ∈ (-∞, 2] Unión (4, ∞)

El 4 está abierto porque es una raíz del denominador y no puede ser cero

Otras posibles soluciones

1Si la ecuación fuese inecuación la solución sería:

x ∈ (-∞, 2) Unión (4, ∞)

2 Si la ecuación fuese inecuación la solución sería:

x ∈ (2, 4)

3Si la ecuación fuese inecuación la solución sería:

x ∈ [2, 4)

El 4 está abierto porque es una raíz del denominador y no puede ser cero

Ejercicio

Resolver la inecuación: inecuación

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.

inecuación

Hallamos las raíces del numerador y del denominador

−x + 7 = 0      x = 7

x − 2 = 0        x = 2

Evaluamos el signo:

signos

signos

signos

solución gráfica

x ∈ (-∞, 2) Unión (7, ∞)