Temas
- Encuentra la ecuación cuadrática
- Factorización
- Encontrar el valor k
- Encuentra los valores que se te piden
- Ejercicio para calcular edades
- Cálculo de un terreno
- Triángulos proporcionales
- Calcula el área del jardín
- Criterio de semejanza en rectángulos
- Calcula el numero que se te indica
- Estructura la ecuación cuadrática y calcula
- Calcular tiempo de llenado de una piscina
- Encuentra los valores que se indican
- Cálculo de un volumen
- Llenando un deposito
Bienvenidos a nuestra sección dedicada a la resolución de Problemas de Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas representan un componente esencial de las matemáticas, y su comprensión y manejo son cruciales para abordar desafíos matemáticos complejos. En esta guía, le proporcionaremos una orientación paso a paso sobre la resolución de ecuaciones cuadráticas.
El proceso de resolver una ecuación cuadrática comienza al igualar una expresión polinómica de segundo órden a cero, seguido de la aplicación de métodos rigurosos como la factorización, la fórmula cuadrática o el método de completar el cuadrado para determinar las soluciones. A medida que avanzamos en este proceso, desvelamos las soluciones matemáticas inherentes a situaciones complejas.
Encuentra la ecuación cuadrática
 
1 Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.
1Como conocemos las raíces de la ecuación, podemos escribir ésta como:
Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces
2Calculamos y
3La ecuación de segundo grado buscada es
2 Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: y
1Ahora, ambas raíces son positivas, por lo que consideramos la ecuación:
Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces
2Calculamos y
3La ecuación de segundo grado buscada es
 
Factorización
 
3 Factorizar
1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado
Las raíces son
2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:
3Así, la factorización buscada es
4 Factorizar
1Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado
2Conociendo las raíces de la ecuación podemos factorizar de este modo:
3Así, la factorización buscada es
 
Encontrar el valor k
 
5 Determinar de modo que en la ecuación las raíces sean iguales.
1Para que las dos raíces sean iguales, el discriminante tiene que ser igual a cero.Calculamos el discriminante
2Igualamos el resultado a cero
3Igualamos cada factor a cero y buscamos los valores de que hacen que las raíces sean guales
6 Determinar de modo que en la ecuación las raíces sean iguales.
1Para que las dos raíces sean iguales, el discriminante tiene que ser igual a cero. Calculamos el discriminante
2Igualamos el resultado a cero
3Igualamos cada factor a cero y buscamos los valores de que hacen que las raíces sean guales
 
Encuentra los valores que se te piden
 
7La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.
1Si conocieramos las raíces de la ecuación, podríamos escribir ésta como:
Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces
2Sabemos que y , por lo que obtenemos
3Resolvemos la ecuación de segundo grado
Las raíces son
Así, los números buscados son y
8La suma de dos números es -4 y su producto es -21. Halla dichos números.
1Si conocieramos las raíces de la ecuación, podríamos escribir ésta como:
Siendo la suma de las raíces y el producto de las raíces
2Sabemos que y , por lo que obtenemos
3Resolvemos la ecuación de segundo grado
Las raíces son
Así, los números buscados son y
 
Ejercicio para calcular edades
 
9Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.
1Designamos las variables para el ejercicio:
Edad actual
Edad hace 13 años
Edad dentro de 11 años
2Escribimos la ecuación correspondiente:
3Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y obtenemos la ecuación
4Resolvemos la ecuación
Las raíces son
no es una solución válida porque entonces ¿qué edad tendría hace 13 años?
Así, la edad actual es años
10Dentro de 9 años, la edad de Ana será igual a un cuarto del cuadrado de la edad que tenía hace 15 años. ¿Cuál es la edad actual de Ana?
1Designamos las variables para el ejercicio:
Edad actual
Edad hace 15 años
Edad dentro de 9 años
2Escribimos la ecuación correspondiente:
3Elevamos el binomio al cuadrado, quitamos denominadores y obtenemos la ecuación
4Resolvemos la ecuación
Las raíces son
La edad en este contexto no tiene sentido, ya que estamos hablando de una persona que existió al menos 15 años. Entonces, Ana tiene 27 años.
 
Cálculo de un terreno
 
11Para vallar una finca rectangular de se han utilizado de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
1Representamos el terreno
donde
Semiperímetro
Base
Altura
2El área es igual a base por altura
3Quitamos paréntesis y hallamos las raíces
y
Así, las dimensiones de la finca son:
base y altura
base y altura
12Para vallar una finca rectangular de , se han utilizado de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.
1Representamos el terreno
donde
Semiperímetro
Base
Altura
2El área es igual a base por altura
3Desarrollamos el producto y obtenemos la ecuación
Entonces, usamos la fórmula cuadrática para encontrar las raíces:
Entonces, las raíces son
Así, las dimensiones de la finca son:
base y altura , o, de manera equivalente,
base y altura
 
Triángulos proporcionales
 
13Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números y . Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es .
1Representamos los datos proporcionados
Primer lado (base)
Segundo lado (altura)
Tercer lado
2Aplicamos la fórmula del área de un triángulo
3Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación
no es solución porque un lado no puede tener una longitud negativa. Así las soluciones son:
Primer lado
Segundo lado
Tercer lado
14Dos lados de un triángulo isósceles son proporcionales a 10, y el lado restante a 12. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es
1Representamos los datos proporcionados
Lados iguales:
Lado distinto: (base)
Para obtener una fórmula con respecto a del área del triángulo, primero debemos encontrar la altura . Por el Teorema de Pitágoras,
Entonces,
.
2Aplicamos la fórmula del área de un triángulo
3Despejamos para :
Como no podemos tener lados de longitud negativa, la respuesta correcta es . Es decir, nuestro triángulo tiene base y lados .
 
Calcula el área del jardín
 
15Un jardín rectangular de de largo por de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es .
1Representamos los datos proporcionados
Llamaremos a la anchura del camino
2 será igual al área total del conjunto menos el área del jardín
3Quitamos paréntesis, operamos y simplificamos la ecuación dividiendo por 4 en los dos miembros
Así, la anchura del camino es .
no es una solución porque las distancias han de ser positivas.
16Una zanja tiene de de ancho y de largo. Si queremos agregar césped alrededor de la zanja, y que tenga un área total de de , ¿cuán ancho debe ser este márgen de césped?
1Representamos los datos proporcionados
Sea la anchura del márgen de pasto.
2 será igual al área total del conjunto sin la zanja:
3Expandimos el producto de polinomios y simplificamos la expresión:
Las raíces son entonces y . Como estamos tratando con distancias (parámetro positivo), solamente la primera solución tiene sentido. Entonces, necesitamos un márgen de de pasto.
 
Criterio de semejanza en rectángulos
 
17Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide , sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden y respectivamente.
1Los lados tienen en común el 12, por lo que empleando la semejanza se tiene
Base
Altura
2Aplicamos el teorema de Pitágoras
3Resolvemos la última ecuación y obtenemos . Así, las dimensiones del rectángulo solicitado son:
Base
Altura
18Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide , sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden y respectivamente.
1Los lados tienen en común el 5, por lo que empleando la semejanza se tiene
Base
Altura
2Aplicamos el teorema de Pitágoras
Es decir, la base mide y la altura
 
Calcula el numero que se te indica
 
19Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .
1Consideramos
Número:
Inverso del número:
2Realizamos la suma indicada
3Resolvemos la ecuación racional
Las soluciones de la ecuación son y
El número pedido es , pues no es solución porque no es un número entero.
20Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es .
1Consideramos
Número:
Inverso del número:
2Realizamos la suma indicada
3Resolvemos la ecuación racional
Las soluciones de la ecuación son y . Sin embargo, sustituir en la expresión inicial no expresa lo que necesitamos. Por lo tanto, la respuesta es .
 
Estructura la ecuación cuadrática y calcula
 
21Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?
1Consideramos
Primer número
Segundo número
Expresamos la suma de los cuadrados
2Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 2
3Las soluciones de la ecuación son y
Primer número
segundo número
no es solución a nuestro problema porque no es un número natural
22Dos números naturales se diferencian en cinco unidades y la suma de sus cuadrados es 277. ¿Cuáles son esos números?
1Sea el primer número y el segundo. Expresamos su suma de cuadrados como
2Elevamos el binomio al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación:
3Las soluciones de la ecuación son y . Como -14 no es un número natural, tomamos . Entonces, 9 y 14 son los números requeridos.
 
Calcular tiempo de llenado de una piscina
 
23Dos caños y llenan juntos una piscina en dos horas, lo hace por sí solo en tres horas menos que . ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?
1Consideramos
Tiempo de
Tiempo de
2En una hora ocurre lo siguiente:
También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan media piscina
3Sustituimos:
Tenemos una ecuación racional; para resolver primero tenemos que quitar denominadores
Así, las posibles soluciones son y , pero esta última no es solución ya que el tiempo sería negativo.
4Comprobamos que es una solución:
Al cabo de una hora, ocurre que:
Al cabo de 2 horas:
Entonces, en 2 horas la piscina se habrá llenado
La piscina estará completamente llena al cabo de 2 horas. Así, el tiempo solicitado es:
Tiempo de
Tiempo de
24Dos caños y llenan juntos una piscina en seis horas, lo hace por sí solo en cinco horas menos que . ¿Cuántas horas tarda cada uno separadamente?
1Sea el tiempo (en horas) que tarda en llenar la piscina. Entonces, tarda en llenar la piscina. En otras palabras, el grifo vierte de la capacidad total de la piscina por hora. Similarmnte, el grifo vierte de la capacidad total de la piscina por hora. También sabemos que en una hora, los 2 caños juntos llenan un quinto de la piscina:
Tenemos una ecuación racional; por lo que la simplificamos para deshacernos de los denominadores:
Así, las posibles soluciones son y , pero esta última no es solución ya que el tiempo sería negativo.
4Comprobamos que es una solución al problema. Es decir, debe ocurrir que en 6 horas, los grifos llenan la piscina:
 
Encuentra los valores que se indican
 
25Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres
números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
1Representamos los datos proporcionados
Primer cateto
Segundo cateto
Hipotenusa
2Aplicamos el teorema de Pitágoras
3Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo en los dos miembros por 4
4Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas corresponden a
Primer cateto
Segundo cateto
Hipotenusa
No consideramos porque las distancias son positivas
26Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros de tres números múltiplos de 5, consecutivos (por ejemplo, ). Halla los valores de dichos lados.
1Representamos los datos proporcionados
Recordemos que un múltiplo de 5 puede ser escrito como , donde representa un número entero. Entonces, nuestro triángulo tiene las siguientes medidas:
Primer cateto
Segundo cateto
Hipotenusa
2Aplicamos el Teorema de Pitágoras:
3Elevamos los binomios al cuadrado, operamos y simplificamos la ecuación
dividiendo todo por 25
4Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas corresponden a
Primer cateto
Segundo cateto
Hipotenusa
No consideramos porque las distancias son positivas
 
Cálculo de un volumen
 
27Una pieza rectangular es más larga que ancha. Con ella se construye una caja de cortando un cuadrado de de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.
1Representamos los datos proporcionados
Ancho:
Largo:
Alto:
2El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es:
(x − 12) · (x −8) = 140
3Resolvemos la ecuación anterior
Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas son
Ancho:
Largo:
La solución la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa
28Una pieza rectangular es más corta que ancha. Con ella se construye una caja de cortando un cuadrado de de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.
1Representamos los datos proporcionados
Ancho:
Largo:
Alto:
2El volumen de la caja, que es prisma rectangular, es:
3Resolvemos la ecuación anterior
Las soluciones de la ecuación son y . Así, las medidas solicitadas son
Ancho:
Largo:
La solución la rechazamos porque una longitud no puede ser negativa
 
Llenando un deposito
 
29Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
1Consideramos
Tiempo del primero:
Tiempo del segundo:
2En una hora ocurre lo siguiente:
También sabemos que en una hora y 20 minutos, esto es en de hora los 2 caños juntos llenan un depósito
3Sustituimos:
Tenemos una ecuación racional; para resolver primero tenemos que quitar denominadores
Así, las posibles soluciones son y , pero esta última no es solución ya que el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.
4Así, los tiempos empleados son:
Tiempo del primero
Tiempo del segundo
30Un caño tarda cinco horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 3 horas y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?
1Sea el tiempo que tarda el primer caño en llenar el depósito. Entonces, el segundo tarda . En una hora, el primer caño llena de la cantidad máxima del depósito, mientras que el segundo llena .
También sabemos que en tres hora y 20 minutos, ese decir, de hora, los 2 caños juntos llenan el depósito por completo.
3Sustituimos:
Tenemos una ecuación racional; para resolver, primero tenemos que quitar denominadores
Así, las posibles soluciones son y , pero esta última no es solución ya que el tiempo empleado por el segundo caño sería negativo.
4Así, los tiempos empleados son:
Tiempo del primero
Tiempo del segundo
-
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
x²-6x+8=0
x²+6x=0-8
4x=-8
x=-8/4
x=-2
Hola Valeria, lamento la intromisión, si aún necesitas la respuesta, la ecuación es de segundo grado porque la letra x² es la de mayor exponente, debido a que no tienes término semejantes, como x+x, o x²+x² (por ejemplo) no puedes operarios de manera directa. Puedes utilizar la fórmula de segundo general de segundo grado (Que la puedes encontrar en esta página web y te explica cómo usarla, es muy sencillo) o puedes hacer una factorización, tus resultados son x=4 y x=2.
resolver la ecuacion x−4
3
− 5 = 0
X=4 yx= 2
2X=4+2
X=6/2
X=3