Un radical es una expresión de la forma radical, en la que n Pertenece Conjunto de los números naturales y a Pertenece Erre ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

radical

radicales

Potencias y radicales

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

potencia

Ejemplo:

radical

Ponemos en forma de potencia 256, 256 = 28

El índice del radical (2) se transforma en el denominador y el exponente del radicando (8) en el numerador

Efectuamos las operaciones

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

índice

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente o exponentes del radicando por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Ejemplo:

radicales

Descomponemos en factores 36

Divimos por 2 tanto el índice (4) como los exponentes del radicando (2 y 2)

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Ejemplos:

1Radicales equivalentes

Ponemos en forma de potencia 256, 256 = 28

Para simplificar el radical divimos por 2 tanto el índice (6) como el exponente del radicando (8)

2Radicales equivalentes

Para simplificar el radical divimos por 2 tanto el índice (4) como los exponentes del radicando (6 y 10)

Reducción a índice común

Para reducir a común índice dos a más radicales:

Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

Ejemplo:

Poner a común índice los radicales:

radical

En primer lugar hallamos el m.c.m. de los índices: 2, 3 y 4

radical

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes

radical

Operamos con las potencias

radical

Extracción de factores en un radical

Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:

1 Un exponente del radicando es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Ejemplos:

1raíz

1raíz

2 Un exponente del radicando es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Ejemplo:

1raíz

Descomponemos 12 en factores, como el 2 está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el 2 del radicando

2raíz

Descomponemos 8 en factores, como el 2 está elevado a la misma potencia que el índice podemos extraer el 2 del radicando

3 Un exponente del radicando es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Ejemplos:

1raíz

El exponente del 2 es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (4) entre el índice (2).

El cociente obtenido (2) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (0) es el exponente del factor dentro del radicando

2  raíz

Descomponemos en factores 243 = 35

El exponente es mayor que el índice, por tanto se divide dicho exponente (5) entre el índice (3).

El cociente obtenido (1) es el exponente del factor fuera del radicando y el resto (2) es el exponente dentro del radicando

Como el factor 20 es igual a 1, no es necesario colocarlo en el radicando ya que si se multiplica por otro factor este no varía

En general, si el resultado de dividir el exponente de un factor por el índice da como resto cero, no colocaremos ese factor en el radicando

3radical

Hay exponentes en el radicando mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes (2 y 5) por el índice (2).

Cada uno de los cocientes (1 y 2) obtenidos será el exponente del factor correpondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos (0 y 1) serán los exponentes de los factores correpondientes dentro del radicando

4radical

Los exponentes el radicando son mayores que el índice, por tanto se dividen dichos exponentes (7, 14 y 4) por el índice (4).

Cada uno de los cocientes (1, 3 y 1) obtenidos será el exponente del factor correpondiente fuera del radicando y cada uno de los restos obtenidos (3, 2 y 0) serán los exponentes de los factores correpondientes dentro del radicando

Introducción de factores en un radical

Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.

     Introducción de factores dentro del signo radical

Ejemplos:

1radical

Como el índice es 2, el factor fuera del radical (2) se eleva al cuadrado y realizamos las operaciones

radical

2radical

Tanto el 2² como el 3³ se introducen elevados al índice (4)

radical

Quitamos los paréntesis multiplicando los exponentes

radical

Multiplicamos las potencias con la misma base

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Para sumar radicales con el mismo índice e igual radicando se se suman los coeficientes de los radicales.

     Suma de radicales

Ejemplos

1 sumas

Sumamos los coeficientes de los radicales

sumas

2sumas

Sumamos los coeficientes de los radicales

sumas

3suma

Descomponemos en factores los radicandos:

12 = 2² · 3, 75 = 3 · 5²

suma

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

suma

Sumamos los coeficientes de los radicales

suma

4suma

Extraemos factores de los radicales y los multiplicamos por el coeficiente del radical correspondiente

4 = 2², 8 = 2³ y 64 = 28

suma

Simplificamos los radicales. En el primer radical dividimos el índice y el exponente del radicando por 2, en el 2º por 3 y en el 3º por 6

suma

Sumamos los coeficientes de los radicales

suma

Multiplicación de radicales con el mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.

producto

Ejemplo:

radical

radical

Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Multiplicación de radicales con distinto índice

Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.

Ejemplos:

1 radical

Descomponemos en factores los radicandos

radical

Reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

radical

Dividimos el común índice (12) por cada uno de los índices (2, 3 y 4) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1, 2 y 3)

Realizamos el producto de potencias con la misma base en el radicando y extraemos factores del radicando

radical

2 radical

Calculamos el mínimo común múltiplo de los índices

radical

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (2 y 3) y cada resultado obtenido se eleva a los radicandos correspondientes

radical

Descomponemos en factores 12 y 36, realizamos las operaciones con las potencias y extraemos factores

División de radicales con el mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

cociente

Ejemplo:

radical

Como los dos radicales tienen el mismo índice lo ponemos todo en un radical con el mismo índice

Descompnemos en factores, hacemos la división de potencias con la misma base

Simplificamos el radical dividiendo el índice y el exponente del radicando por 3

División de radicales con distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Ejemplos:

1 radical

En primer reducimos a común índice por lo que tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice. m.c.m.(3, 2) = 6

Dividimos el común índice (6) por cada uno de los índices (3 y 2) y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes (1 y 1)

Descomponemos el 4 en factores para poder hacer la división de potencias con la misma base y dividimos

radical

2 radical

Realizamos los mismos pasos del ejercicio anterior

radical

Simplificamos el radical dividiendo por 2 el índice y el exponente del radicando, y por último extraemos factores

radical

Potencia de un radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

     potencias

Ejemplo:

1 radical

Elevamos el radicando al cuadrado, descomponemos 18 en factores y los elevamos al cuadrado y por último extraemos factores

radical

2 radical

Elevamos los radicandos a la cuarta, descomponemos en factores los radicandos y extraemos el 18 del radical

radical

En los radicando realizamos las operaciones con potencias y ponemos a común índice para poder efectuar la división

radical

Simpificamos el radical dividiendo por 2 el índice y los exponentes del radicando y realizamos una división de potencias con el mismo exponente

radical

Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

     raíz de un radical

Ejemplo:

1 radical

Multiplicamos los índices

raíz de un radical

2 radical

Introducimos el primer 2 dentro de la raíz cúbica por lo que tendremos que elevarlo al cubo y multiplicamos las potencias con la misma base

radical

Introducimos el 24 en la raiz cuarta por lo que tenemos que elevarlo a la cuarta, realizamos el producto de potencias y por último el producto de los índices

radical

Racionalización

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

1 Racionalización del tipo cociente

Se multiplica el numerador y el denominador por raíz.

operaciones

Ejemplos:

1 operaciones

Multiplicamos numerador y denominador por la raíz de 2, realizamos los cálculos y simplificamos la fracción

2 operaciones

Para poder realizar la suma racionalizamos el 2º sumando multiplicando y dividiendo por raíz de 2, y realizamos la suma

operaciones

2 Racionalización del tipo fracción

Se multiplica numerador y denominador por radical.

     operaciones

Ejemplo:

operaciones

El radicando 4 lo ponemos en forma de potencia: 2²

Tenemos que multiplicar en el numerador y denominador por la raíz quinta de 25 − 2 = 2³

Multiplicamos los radicales del denominador, extraemos factores del radical y simplificamos la fracción

3 Racionalización del tipo cociente

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

     conjugados

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

     suma por difeencia

Ejemplos:

1 racionalizar

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

racionalizar

En el denominador extraemos los radicandos y dividimos por −1, es decir, cambiamos el numerador de signo

2 racionalizar

Multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador

racionalizar

Efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados y operamos: racionalizar

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por 2

3 racionalizar

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, quitamos paréntesis en el numerador y efectuamos la suma por diferencia en el denominador, por lo que obtenemos una diferencia de cuadrados

racionalizar

En el numerador descomponemos en factores 12 y extraemos factores, terminamos realizando las operaciones del denominador