Temas
Repaso
Nota: Todo número real es un número complejo, pero no todo número complejo es un numero real
Formulas para operar números complejos:
Suma
Se asocian y suman por un lado las partes reales y por otro las imaginarias
Producto
Se resuelve igual que el producto de 2 binomios, usando la distributividad
recordando que
División
Aritmética de números complejos
1 Realiza las siguientes operaciones:
1
Elevamos primero el numerador a la tercera potencia
Calculamos el cociente
2
Convertimos el número en forma polar
Finalmente calculamos la potencia de
Si ajustamos el argumento a un ángulo entre y , obtenemos
3
Convertimos el número en forma polar
Finalmente calculamos la potencia de
4
Convertimos el númerador que aparece dentro de la raíz a forma polar
Ahora convertimos el denominador a forma polar
Calculamos el cociente
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las raíces terceras constan entonces de los números
2 Resuelve y expresa en forma polar
Convertimos el número en forma polar
Entonces
Para calcular las raíces obtenemos el módulo y los argumentos
Las 5 raíces quintas constan entonces de los números
3 Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.
Quitamos los paréntesis para poder realizar las operaciones en el númerador y denominador
Multiplicamos el númerador y el denominador por el conjugado de este último
Entonces
Para la forma polar, obtenemos el módulo y el argumento
De este modo,
4 Calcula el valor de cociente. Obten sus raíces cúbicas, expresando en forma polar, trigonométrica y binomial.
1Cálculo del cociente
Cambiamos el exponente negativo y desarrollamos
Tomando en cuenta que , nos queda que
Entonces
2Conversión a forma polar
Para obtener las raíces de , necesitamos cambiar a su forma polar. Esto la hacemos obteniendo su módulo y argumento
Por lo que
3Cálculo de las raíces terceras
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las 3 raíces cúbicas constan entonces de los números
4Raíces expresadas en forma trigonométrica y binomial
Raíces de una ecuación
5 Calcula las raíces de la siguiente ecuación:
Cambiamos a la forma polar el número dentro de la raíz, en este caso, -1.
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las raíces de la ecuación son entonces los números con módulo 1 y con los argumentos anteriores, es decir,
6 Calcular todas las raíces de la ecuación:
Despejamos
Cambiamos el número dentro de la raíz a forma polar
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las raíces quintas constan entonces de los números
7 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones y su conjugado.
Dado un número complejo y su conjugado
Podemos encontrar un ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean dichos números. Esta ecuación se expresa de la siguiente manera
Donde es la suma de las raíces y el producto. En este caso,
Entonces la ecuación que buscamos es
Conjugado de un complejo, forma polar y trigonométrica
8 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
1
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Entonces en forma polar y trigonométrica queda
El conjugado
El opuesto
2
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Entonces en forma polar y trigonométrica queda
El conjugado
El opuesto
Teorema de Moivre y binomio de Newton
9 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:
Convertimos a forma polar
Queremos encontrar un número , tal que al elevarlo al cubo resulte el número anterior
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las 3 raíces cúbicas constan entonces de los números
Eso convertido a forma trigonométrica y binomial obtengo
10 Expresa en función de cos α y sen α:
1 Binomio de Newton:
Aplicamos el binomio de Newton
Desarrollamos
Separamos la parte real y la parte imaginaria
2 Fórmula de Moivre:
Por otro lado sabemos que
Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que
Al igualar las parte imaginarias concluimos que
11 Expresa en función de y :
1 Binomio de Newton:
Aplicamos el binomio de Newton
Desarrollamos
Separamos la parte real y la parte imaginaria
2 Fórmula de Moivre:
Por otro lado sabemos que
Usando el resultado al que llegamos con el binomio de Newton, igualamos las parte reales y obtenemos que
Al igualar las parte imaginarias concluimos que
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Hola. ¿Me podrían ayudar con el siguiente ejercicio de números complejos?: “si dividimos un numero complejo z= a + bi entre su conjugado, obtenemos su opuesto mas 1+2i. ¿de que numero z se trata?”
Raíz sexta de menos 625
Quiero pasar -4 + 2i a forma trigonométrica y con procedimiento
¿ cómo graficar P( -3, 60°, 30°) ?
podrian resolver este ejercicio paso a paso por favor!
(-√3 + i)⁸
Z= 59049 300° Hallar y Escribir en forma polar la quinta y la novena raíz de
10 Z
Es necesario hallar una por una las potencias para calcular i1000
Si te refieres a i elevado a la 1000, no.
Primero calculas i a las potencias 0,1,2 y 3, después el 100 lo divides entre 4 y lo que quede de residuo lo usas de potencia de i y ese es el resultado.
Sea el o los números complejos z = y ||z|| = √13, el o los valores de x es/son:
•5
•+-5
•12
•+-12