1 Dados los vectores , y , hallar:

 

a

b

c y

d

e y

 

Dados los vectores , y hallar:

 

Soluciones:

 

a

 

Antes de realizar el ejercicio, recordemos:

 

Si tenemos al vector y al vector , definimos al producto escalar como:

 

 

y de esta manera ya podemos desarrollar el ejercicio.

 

 

 

 

 

b

 

Usando la misma nomenclatura, definimos al producto vectorial como:

 

 

donde

 

 

la cual nos permite desarrollar los ejercicios solicitados.

 

 

 

 

 

c y

 

Una vez teniendo claras las definiciones de producto escalar y vectorial, podemos combinarlas entre ellas. No olvide que un producto escalar genera un número, y un producto vectorial un vector, debido a esta razón es importante el orden en que se realizan los productos, debido a eso los paréntesis. El producto final representa el volumen del paralelogramo generado por los vectores, y como son los mismo el volumen resulta igual en ambos casos.

 

 

 

4

 

Nuevamente, haciendo uso de la nomenclatura inicial, recordemos la definición del módulo de un vector

 

 

habiendo recordado la fórmula, ya podemos calcular

 

 

 

 

d y

 

Con toda esta información, ya es posible calcular el coseno del ángulo formado entre los vectores.

 

 

 

1Dados los vectores y , hallar:

aLos módulos de  y

bEl producto vectorial de y

cUn vector unitario ortogonal a y

dEl área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y

 

Dados los vectores y , hallar:

 

Soluciones:

 

aLos módulos de  y

 

 

 

bEl producto vectorial de y

 

 

cUn vector unitario ortogonal a y

 

Cuando se calcula el producto vectorial entre dos vectores, se genera un vector ortogonal a ambos, por tal razón

 

 

es el vector ortogonal que necesitamos, ahora sólo hace falta hacerlo unitario, primero calculemos su módulo

 

 

y entonces ya podemos hacerlo unitario

 

 

dEl área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y

El área del paralelogramo, se calcula con el módulo del producto vectorial de los vectores que lo conforman

 

3Hallar el ángulo que forman los vectores y .

 

Hallar el ángulo que forman los vectores y

 

Sea

 

 

el ángulo formado entre los vectores.

 

Calculemos entonces el coseno de dicho ángulo

 

 

entonces ahora apliquemos la inversa del coseno sobre el valor calculado, para conocer el valor del ángulo formado entre los vectores

 

&nbsp

4Hallar los cosenos directores del vector .

 

Hallar los cosenos directores del vector .

 

Los cosenos directores, sirven para saber el ángulo generado entre cada eje y el vector respectivamente, es decir, sirven como una herramienta de localización de un punto

 

 

5Dados los vectores y , hallar el producto y comprobar que este vector es ortogonal a  y a . Hallar el vector  y compararlo con .

 

Dados los vectores y , hallar el producto y comprobar que este vector es ortogonal a  y a . Hallar el vector  y compararlo con .

 

Primero el producto vectorial

 

 

Ahora recordemos que para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser cero

 

 

Verifiquemos:

 

 

ahora con el otro vector

 

 

 

observando que efectivamente los vectores en cuestión son perpendiculares.

 

Ahora calculemos el siguiente producto vectorial, observe que los vectores ahora tienen distinto orden

 

 

llegando así al ejemplo de una de las propiedades importantes del producto vectorial, la anticonmutatividad

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗