1Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto y se apoya en las rectas:

 

1 Obtenemos un punto genérico de la recta igualando las expresiones con

 

 

Entonces se obtiene

 

2Obtenemos un punto genérico de la recta igualando las expresiones con .

 

 

Entonces se obtiene

 

3Calculamos la ecuación de la recta que pasa por y .

 

 

4Como la recta pasa por el punto , tendremos:

 

 

Igualando la primera expresión con la segunda y la segunda con la tercera se obtiene el sistema de ecuaciones

 

 

del cual obtenemos

 

 

5Sustituimos estos dos valores en la ecuación de la recta:

 

 

6Operamos y simplificamos para obtener la recta solicitada

 

 

2Estudiar para los diferentes valores de , la posición relativa de los siguientes planos:

 

1La matriz de coeficientes y la matriz extendida son

 

 

2En el determinante de la matriz de los coeficientes sumamos a la primera fila las otras dos y posteriormente sacamos factor común.

 

 

Restamos a cada fila la primera:

 

 

3Si y , entonces y se tiene que los tres planos se cortan en un punto.

 

4Si , entonces las tres ecuaciones son idénticas y se tiene que los tres planos son coincidentes.

 

5Si , entonces y por lo que no hay ningún par de planos paralelos, luego los tres planos se cortan dos a dos formando una superficie prismática.

 

3Estudiar las posiciones relativas del plano y la recta según los valores del parámetro .

1Con el plano y la recta formamos el siguiente sistema

 

 

2La matriz de coeficientes y la matriz extendida son

 

 

3Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes

 

 

4Igualando el determinante a cero obtenemos

 

 

5Si y , entonces y la recta corta al plano en un solo punto.

 

6Si , entonces y la recta está contenida en el plano.

 

7Si , entonces y por lo que la recta es paralela al plano.

 

4Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta con el plano y es paralelo a las rectas:

 

1Las ecuaciones continuas de la recta se pasan a implícitas, y éstas junto a la ecuación del plano forman un sistema

 

 

2La solución es el punto de intersección

 

 

3El plano viene determinado por el el punto de intersección y los vectores directores de las rectas paralelas al plano

 

 

4Calculamos el determinante

 

 

5La ecuación del plano se obtiene igualando el determinante a cero

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗