Determinar la ecuación del plano
1 Dadas las rectas:
Determinar la ecuación del plano que contiene a 
y es paralelo a 
.
Recordemos que un plano está definido por 1 punto y 2 vectores.
Resolviendo 
obtenemos que A=(-2,1,-1) es un punto sobre y por lo tanto, es un punto sobre el plano.
Un punto en el plano es: 
Los vectores directores son: 
Finalmente la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
2 Hallar la ecuación del plano que contienen a las rectas:
obtenemos que A=(-2,1,-3) es un punto sobre y por lo tanto, es un punto sobre el plano. Un punto en el plano es: 
Los vectores generadores son: 
Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
3 Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A(2, 5, 1) y a la recta de ecuación:
Resolviendo
obtenemos que B(2,1,-1) es un punto sobre .Entonces el otro vector generador está dado por
Un punto en el plano es: A(2, 5, 1)
Los vectores directores son: 
Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
4 Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta 
y es paralelo a la recta 
.
Un punto en el plano es: A(2, 2, 4)
Los vectores directores son: 
Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
Problemas variadas de la ecuación del plano
5 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta 
.
Un vector director de este plano será el vector director de la recta
El otro vector está dado por
Un punto en el plano es: A(1, −2, 4)
Los vectores directores son: 
Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
6 Sea π un plano que pasa por P(1, 2, 1) y corta a los semiejes coordenados positivos en los puntos A, B y C. Sabiendo que el triángulo ABC es equilátero, hallar las ecuaciones de π.
Recordemos que si conocemos los puntos en los que se intersecta un plano con los ejes
La ecuación canónica del plano está dada por
Como el triángulo es equilátero, los tres segmentos de los semiejes positivos desde el origen hasta el punto de intersección son iguales. Entonces la ecuación canónica es:
Para obtener el valor de 
sólo basta sustituir las coordenadas del punto P(1, 2, 1) en la ecuación
La ecuación del plano es entonces
7 Hallar las ecuaciones de los ejes coordenados y de los planos coordenados.
Ecuación continua: 
Ecuación implícita: 
2 Eje OY
Punto sobre la recta: O(0,0,0)
Vector director: 
Ecuación continua: 
Ecuación implícita: 
3 Eje OZ
Punto sobre la recta: O(0,0,0)
Vector director: 
Ecuación continua: 
Ecuación implícita: 
4 Plano XY
Punto sobre el plano: O(0,0,0)
Los vectores directores: 
Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
5 Plano XZ
Punto sobre el plano: O(0,0,0)
Los vectores directores: 
Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
6 Plano YZ
Punto sobre el plano: O(0,0,0)
Los vectores directores: 
Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
8 Hallar las coordenadas del punto común al plano 
y a la recta determinada por el punto (1, −3, 2) y el vector 
Con el vector director y el punto que está sobre la recta, su ecuación paramétrica es
2 Sustituimos en la ecuación del plano
Queremos encontrar el punto que se encuentra sobre la recta y sobre el plano, por lo que las coordenadas deben cumplir las ecuaciones que los definen. Usamos las coordenadas paramétricas y las sustituímos en la ecuación del plano
Eliminamos los paréntesis
Simplificamos y despejamos 
3 Calculamos las coordenadas usando el valor de
Las coordenadas del punto en común son (3,1,3)
9 Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1, 1, 1) y es paralelo a:
De la ecuación paramétrica del plano al que es paralelo, obtenemos dos vectores directores
Los vectores directores: 
Un punto sobre el plano: P(1,1,1)
Por lo tanto la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
10 Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones:
y que pasa por el punto (1, 1, 2).
De cada una de las rectas paralelas quiero obtener un vector director. Sin embargo, la ecuación implícita de no muestra esta información directamente. Para ello debemos obtener su ecuación paramétrica.
1. Dejamos una de las varibles del otro lado de la ecuación.
2. Usar el método de Cramer para resolver x y y en términos de z
3. Obtenemos 2 puntos en la recta asignando 2 valores para z
4. Obtenemos un vector director
y así considerando el punto A sobre s
2 Obtenemos la ecuación del plano
Un punto en el plano es: A(1, 1, 2)
Los vectores directores son: 
Por lo tanto, la ecuación del plano está dado por el siguiente determinante
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Ecuación explícita de la recta
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1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A(3,-1,0) y su vector director sea
perpendicular a los vectores: w = y u =
Cuál es la recta que contiene a los puntos o(-2,1) y Q(-3,-4)