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Ecuación vectorial
En esta sección aprenderás a representar vectorialmente a todos los puntos que pertenezcan a un plano llamado .
Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano y a dos vectores con direcciones distintas y llamados vectores directores.
Los vectores y se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las direcciones para generar a los puntos del plano , dichos vectores se consideran en el plano.
La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente:
- Consideremos a como un punto de referencia del plano
- Consideramos a un vector en el plano que comienza en y termina en , dicho vector se puede construir de la siguiente manera
- Ahora, como y también pertenecen a y no tienen la misma dirección, es posible encontrar a escalares y respectivamente, tales que sea posible crear a los vectores y cuya suma sea , es decir:
Entonces con esta igualdad ya es posible comenzar a desarrollar:
es decir:
llegando a la ecuación en su forma vectorial de los elementos del plano :
Ecuaciones paramétricas del plano
Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Esta igualdad se verifica si:
obteniendo así las ecuaciones paramétricas del plano.
Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano si tiene solución el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollamos el determinante.
y si asignamos los valores:
Sustituimos:
si desarrollamos ahora llegamos a:
y con la siguiente igualdad:
obtenemos la ecuación general de plano:
Vector normal
Vamos a construir la ecuación de un plano usando otros elementos.
Primero consideremos a un vector perpendicular al plano llamado vector normal , y además a un punto fijo del plano
Sea cualquier punto del plano.
Construimos al vector dirigido de a de la misma forma que anteriormente lo hicimos:
tal vector es perpendicular a ya que pertenece a , y se consideró perpendicular a todo vector del plano.
Entonces, por ser perpendiculares ambos vectores, su producto escalar vale cero:
de este modo también se puede determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.
Ecuación canónica o segmentaria del plano
Sean , y tres vectores en el espacio por donde pasa el plano que se encuentran sobre los ejes de referencia.
Construyamos a la ecuación de en su forma canónica partiendo de su forma general.
Supongamos que tenemos a la ecuación en su forma general del plano :
donde , , y son todos números reales distintos de cero.
De la ecuación general restemos de ambos lados a y posteriormente dividamos a ambos lados entre , quedando así el proceso:
y si ahora estructuramos a las fracciones queda:
donde los denominadores coinciden exactamente con los valores , y de los vectores en el espacio que se mencionaron inicialmente, de esta manera si:
entonces ya tenemos a la ecuación de en su forma canónica:
Ejercicios
1Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto y tiene como vectores directores a y .
Como tenemos a un punto del plano y a sus dos vectores directores, simplemente sustituimos los valores en las ecuaciones en su forma paramétrica del plano, quedando entonces:
para que ahora conozcamos a la ecuación del plano en forma implícita, proponemos a la siguiente igualdad y resolvemos el determinante:
quedando de esta manera la ecuación que buscamos:
2Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos y y contiene al vector .
Primero consideremos al punto como el punto de referencia que pertenece al plano, posteriormente partiendo de construyamos un vector dirigido hacia con la operación , teniendo así:
que se puede usar como el otro vector director, para que de esta manera podamos sustituir todo en la ecuaciones en su forma paramétrica del plano:
las cuales podemos usar para plantear la siguiente igualdad, y si desarrollamos el determinante obtenemos la ecuación en su forma general:
3Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos , y
Consideremos al punto como el punto de referencia que pertenece al plano, y partiendo de ahí construyamos a los dos vectores directores usando y respectivamente:
Entonces, usando a como el punto del plano y a los vectores directores construidos, podemos establecer las ecuaciones del plano en su forma paramétrica:
y con esto ya podemos resolver el siguiente determinante (igualado con cero) y conocer a la ecuación del plano en su forma implícita o general:
4Sea el plano de ecuaciones paramétricas:
Se pide comprobar si los puntos y pertenecen al plano.
Primero encontremos a la ecuación del plano, desarrollando el determinante siguiente:
Ahora que ya tenemos la ecuación del plano, sustituyamos los puntos y para saber si pertenecen al plano o no:
concluyendo que al darnos un resultado distinto de cero, entonces ninguno pertenece al plano.
5Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos , y
Tomamos a el punto como el punto de referencia que pasa por el plano y partiendo de él construimos a do vectores dirigidos tanto a como a , que nos servirán como vectores directores:
.
.
y con ésta información establecemos la siguiente igualdad para que al desarrollar el determinante conozcamos la ecuación del plano:
Ahora, restando y dividiendo entre en ambos lados de la igualdad obtenemos la ecuación segmentaria:
.
6Hallar la ecuación de la recta , que pasa por el punto y es perpendicular al plano .
Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano será el vector director de la recta que pasa por el punto .
El vector normal del plano se puede obtener de los coeficientes de las variables, es decir y con esto podemos representar a la ecuación de la recta con la siguiente forma:
.
7Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto y contiene a la recta de ecuación:
.
De la ecuación de la recta obtenemos un punto y el vector .
El punto se puede obtener igualando con cero a cada uno de los denominadores para que la igualdad siempre se cumpla, de esta manera . El vector normal de la recta se obtiene de los denominadores .
Ahora construimos al vector director usando y podemos ocupar a u como el otro vector director:
.
.
Significa que podemos encontrar a la ecuación del plano con el proceso que ya se ha mencionado, quedando el siguiente resultado .
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