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Vamos

Ecuación vectorial

 

En esta sección aprenderás a representar vectorialmente a todos los puntos que pertenezcan a un plano llamado .

Para esto, necesitamos a un punto fijo del plano y a dos vectores con direcciones distintas  y   llamados vectores directores.

Los vectores  y se denominan directores, ya que son los encargados de establecer las direcciones para generar a los puntos del plano , dichos vectores se consideran en el plano.

La construcción de la ecuación vectorial es la siguiente:

 

  • Consideremos a  como un punto de referencia del plano
  • Consideramos a un vector en el plano que comienza en  y termina en , dicho vector se puede construir de la siguiente manera

 

 

  • Ahora, como  y  también pertenecen a   y no tienen la misma dirección, es posible encontrar a escalares y respectivamente, tales que sea posible crear a los vectores y cuya suma sea , es decir:

 

 

representacion vectores en el plano

 

Entonces con esta igualdad ya es posible comenzar a desarrollar:

 

 

es decir:

 

 

llegando a la ecuación en su forma vectorial de los elementos del plano :

 

 

 

Ecuaciones paramétricas del plano

 

Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

 

 

Esta igualdad se verifica si:

 

 

obteniendo así las ecuaciones paramétricas del plano.

 

 

Ecuación general o implícita del plano

 

Un punto  está en el plano si tiene solución el sistema:

 

 

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.

 

 

Desarrollamos el determinante.

 

 

y si asignamos los valores:

 

 

Sustituimos:

 

 

si desarrollamos ahora llegamos a:

 

 

y con la siguiente igualdad:

 

 

obtenemos la ecuación general de plano:

 

 

 

Vector normal

 

Vamos a construir la ecuación de un plano  usando otros elementos.

Primero consideremos a un vector perpendicular al plano llamado vector normal , y además a un punto fijo del plano

 

representacion plano con vector normal y punto fijo

 

Sea  cualquier punto del plano.

 

Construimos al vector dirigido de  a  de la misma forma que anteriormente lo hicimos:

 

 

tal vector es perpendicular a ya que pertenece a , y se consideró perpendicular a todo vector del plano.

 

Entonces, por ser perpendiculares ambos vectores, su producto escalar vale cero:

 

 

de este modo también se puede determinar la ecuación general del plano, a partir de un punto y un vector normal.

 

 

Ecuación canónica o segmentaria del plano

 

Sean ,  tres vectores en el espacio por donde pasa el plano   que se encuentran sobre los ejes de referencia.

 

 

representacion de los vectores A, B, y C en el espacio

 

 

Construyamos a la ecuación de  en su forma canónica partiendo de su forma general.

Supongamos que tenemos a la ecuación en su forma general del plano :

 

 

donde , , y  son todos números reales distintos de cero.

 

De la ecuación general restemos de ambos lados a  y posteriormente dividamos a ambos lados entre , quedando así el proceso:

 

 

y si ahora estructuramos a las fracciones queda:

 

 

donde los denominadores coinciden exactamente con los valores ,  y  de los vectores en el espacio que se mencionaron inicialmente, de esta manera si:

 

               

 

entonces ya tenemos a la ecuación de en su forma canónica:

 

 

recuerda que ,  ,  y  deben ser todos distintos de cero para evitar la indeterminación.

 

 

Ejercicios

 

1Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el punto y tiene como vectores directores a  .

 

Como tenemos a un punto del plano y a sus dos vectores directores, simplemente sustituimos los valores en las ecuaciones en su forma paramétrica del plano, quedando entonces:

 

 

para que ahora conozcamos a la ecuación del plano en forma implícita, proponemos a la siguiente igualdad y resolvemos el determinante:

 

 

quedando de esta manera la ecuación que buscamos:

 

 

2Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos y y contiene al vector .

 

Primero consideremos al punto   como el punto de referencia que pertenece al plano, posteriormente partiendo de construyamos un vector dirigido hacia con la operación , teniendo así:

 

 

que se puede usar como el otro vector director, para que de esta manera podamos sustituir todo en la ecuaciones en su forma paramétrica del plano:

 

 

las cuales podemos usar para plantear la siguiente igualdad, y si desarrollamos el determinante obtenemos la ecuación en su forma general:

 

 

 

3Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos , y

 

Consideremos al punto como el punto de referencia que pertenece al plano, y partiendo de ahí construyamos a los dos vectores directores usando y respectivamente:

 

 

 

Entonces, usando a como el punto del plano y a los vectores directores construidos, podemos establecer las ecuaciones del plano en su forma paramétrica:

 

 

y con esto ya podemos resolver el siguiente determinante (igualado con cero) y conocer a la ecuación del plano en su forma implícita o general:

 

 

4Sea el plano de ecuaciones paramétricas:

 

 

Se pide comprobar si los puntos y pertenecen al plano.

Primero encontremos  a la ecuación del plano, desarrollando el determinante siguiente:

 

 

Ahora que ya tenemos la ecuación del plano, sustituyamos los puntos y para saber si pertenecen al plano o no:

 

 

 

concluyendo que al darnos un resultado distinto de cero, entonces ninguno pertenece al plano.

 

5Hallar la ecuación segmentaria del plano que pasa por los puntos , y

 

Tomamos a el punto como el punto de referencia que pasa por el plano y partiendo de él construimos a do vectores dirigidos tanto a como a , que nos servirán como vectores directores:

 

.

 

.

 

y con ésta información establecemos la siguiente igualdad para que al desarrollar el determinante conozcamos la ecuación del plano:

 

 

Ahora, restando y dividiendo entre en ambos lados de la igualdad obtenemos la ecuación segmentaria:

 

.

 

6Hallar la ecuación de la recta , que pasa por el punto  y es perpendicular al plano .

 

Por ser la recta perpendicular al plano, el vector normal del plano será el vector director de la recta que pasa por el punto .

El vector normal del plano se puede obtener de los coeficientes de las variables, es decir y con esto podemos representar a la ecuación de la recta con la siguiente forma:

 

.

 

7Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto y contiene a la recta de ecuación:

 

.

 

De la ecuación de la recta obtenemos un punto y el vector .

El punto se puede obtener igualando con cero a cada uno de los denominadores para que la igualdad siempre se cumpla, de esta manera . El vector normal de la recta se obtiene de los denominadores .

Ahora construimos al vector director usando y podemos ocupar a u como el otro vector director:

 

.

 

.

 

Significa que podemos encontrar a la ecuación del plano con el proceso que ya se ha mencionado, quedando el siguiente resultado .

 

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗