La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.
r = r' Sistema compatible.
r = r' = n Sistema compatible determinado.
r = r' ≠ n Sistema compatible indeterminado.
r ≠ r' Sistema incompatible.
Ejemplo
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
1 Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango.
r(A) = 3
2 Hallamos el rango de la matriz ampliada
r(A') = 3
3 Aplicamos el teorema de Rouché.
4 Como el sistema es compatible podemos resolverlo, bien por la regla de Cramer o por el método de Gauss.
Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz de orden 3 que tiene rango 3, y lo resolvemos.En este caso lo haremos por la regla de Cramer.
