En este artículo resolveremos paso a paso ejercicios sobre programación lineal. Recordemos que, la programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, las cuales llamamos restricciones. Aplicaremos esta herramienta de las matemáticas para resolver problemas de optimización en áreas como en la industria, economía, etc.
Ejercicios de programación lineal
1Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de m de tejido de algodón y m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa m de algodón y m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan m de algodón y m de poliéster. El precio del pantalón se fija en € y el de la chaqueta en €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
pantalones | chaquetas | disponible | |
---|---|---|---|
algodón | |||
poliéster |
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: , para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
Como entonces el punto se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.
De modo análogo resolvemos .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto, estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo, para lo cual en la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices
€
€
€ Máximo
La solución óptima es fabricar pantalones y chaquetas para obtener un beneficio de €.
2Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara y . Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo y de minutos para el ; y un trabajo de máquina para y de 10 minutos para . Se dispone para el trabajo manual de horas al mes y para la máquina horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de y euros para y , respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
Tiempo | |||
---|---|---|---|
Manual | |||
Máquina |
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser e , trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: ; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el .
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
€
€
€ Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo y 60 del modelo para obtener un beneficio de € .
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3Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo con un espacio refrigerado de m³ y un espacio no refrigerado de m³. Los del tipo , con igual cubicaje total, al % de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de m³ de producto que necesita refrigeración y m³ de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo es de € y el de €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Total | |||
---|---|---|---|
Refrigerado | |||
No refrigerado |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
Como e han de ser números naturales redondeamos el valor de .
Por defecto, veamos que valor toma la para en la ecuación que pertenece al recinto de las soluciones factibles; . Obtenemos un número natural
El coste mínimo son € para y
4En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de unidades de una sustancia y otras de una sustancia . En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo con una composición de una unidad de y de , y el otro tipo, , con una composición de cinco unidades de y una de . El precio del tipo es de euros y del tipo es de €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Mínimo | |||
---|---|---|---|
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
Mínimo
El coste mínimo son € para e .
5Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer cuadernos, carpetas y bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá cuadernos, carpeta y bolígrafos; en el segundo, pondrán cuadernos, carpeta y bolígrafo. Los precios de cada paquete serán y €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Disponibles | |||
---|---|---|---|
Cuadernos | |||
Carpetas | |||
Bolígrafos |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
La solución óptima son 150 y 100 con la que se obtienen €
6Unos grandes almacenes desean liquidar camisas y pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, y . La oferta consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a €; la oferta consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a €. No se desea ofrecer menos de lotes de la oferta ni menos de de la . ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
A | B | Mínimo | |
---|---|---|---|
Camisas | |||
Pantalones |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de €.
7Se dispone de g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan g y las pequeñas g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de € y la pequeña de €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Máximo
El máximo beneficio es de €, y se obtiene fabricando pastillas grandes y pequeñas.
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8Una escuela prepara una excursión para alumnos. La empresa de transporte tiene autobuses de plazas y de plazas, pero sólo dispone de conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta € y el de uno pequeño €. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€ Mínimo
El coste mínimo es de €, y se consigue autobuses grandes y pequeños.
9Una empresa fabrica dos tipos de perforadoras, una manual y la otra automática. La perforadora automática requiere de horas para ser armada y horas de prueba dejando una utilidad de €, por otro lado la manual requiere de horas de armado y horas de prueba dejando una utilidad de €. Si la empresa dispone de horas de mano de obra al mes para armado y horas para prueba ¿Cuántas perforadoras deben producirse de cada modelo para maximizar las utilidades?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
P. Automática | P. Manual | Mínimo | |
---|---|---|---|
Horas de armado | |||
Horas de prueba |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: y
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
Con 48 perforadoras automáticas y con 20 perforadoras manuales se obtiene la utilidad máxima de 104,800€.
10Una mueblería fabrica sofás y sillas, para producir un sofá se requieren minutos de trabajo manual y minutos de máquina y para producir una silla requiere de minutos de trabajo manual y minutos de máquina. Se dispone de horas al mes de trabajo manual y horas al mes de máquina. Si la utilidad de los sofás es de € y de las sillas es de €, ¿cuál debe ser el plan de producción para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
Sofás | Sillas | Mínimo | |
---|---|---|---|
Horas trabajo manual | |||
Horas trabajo en máquina |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: y
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
La mueblería debe producir 96 sofás y 336 sillas con lo cual maximizará el beneficio que será de 6,960€.
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11La empresa de tejidos S.A dispone de dos puntos industriales para confeccionar dos productos y . En el punto industrial , se requiere de horas de trabajo para elaborar el producto y hora para el producto ; mientras, en el punto industrial , se requiere horas para confeccionar cualquiera de los dos productos. Si los puntos y solo disponen de horas y horas, respectivamente. Sabiendo que las utilidades por unidad del producto son € y € por unidad del producto , ¿cuántas unidades de cada producto se debe confeccionar para máximizar la utilidad?
1 Elección de las incógnitas.
2 Función objetivo
3 Restricciones
A | B | Mínimo | |
---|---|---|---|
Punto 1 | |||
Punto 2 |
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
Los vértices son: y el vértice que debe ser redondeado a porque solo se permiten números naturales.
6 Calcular el valor de la función objetivo
€
€
€
€ Máximo
La empresa debe confeccionar 24 productos A y 66 productos B con la finalidad de obtener la máxima utilidad de 540€.
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
LA EMPRESA “ABC” atiende los turistas que llegan diariamente. Esta dispone de los siguientes jugos: 150 litros de limón, 250 litros de parchita, 200 Litros de Naranja y 120 litros de Piña, la misma debe preparar dos mezclas con los jugos que vende que son: Jugo Coctel y Jugo de frutas. Considerando que la demandas siempre excede la existencia de la empresa y el resto de cada mezcla lo constituye un contenido muy barato.
El jugo Coctel debe contener por lo menos 15% de Jugo de limón 40% juga de piña y el jugo de frutas debe contener al menos 25% jugo de naranja, 30% de parchita y 20% de piña. Que rango de proporción se debe usar de cada jugo en las mezclas!? Defina las Variables de decisión respectivas
una. contadora elaborar formato de devolución de impuestos a personas físicas y pequeña empresa. en promedio de cada devolución a personas requiere de la contado y una hora de tiempo de computadora. cada devolución s empresa requiere cuatro horas de tiempo de la contadora 2 horas de la computadora debeido a otra consideración de la empresa el tiempo edta limitado a 240 horas y el tiempo de la computadora esta limitada a 100horas
6. Se van a fabricar dos tipos de juguetes, el primero requiere de 80 gramos de plástico y 5 gramos de pintura. El segundo necesita 60 gramos de plástico y 9 gramos de pintura. Esta semana contara 48 kg de plástico y 4.5 kg de pintura. ¿Cuántos juguetes de cada tipo se deben fabricar si la utilidad unitaria que dejan al negocio es de $6?00 y $7.00 respectivamente? y graficar
Supongamos que un operador turístico comienza con una inversión inicial de $5000 y cada mes aumenta su capital en una cantidad que depende del número de grupos turísticos que maneja. Cada grupo turístico genera un ingreso adicional de $…….. al mes
Una persona decide llevar un registro del gasto semanal en combustible para su automóvil. El costo del galón de combustible es de $3,pero cada vez que carga combustible tiene 2 galones en su tanque. Después de obtener los datos, represento la relación entre la cantidad de combustible y el gasto en una función afín y encuentra la ecuación de la función
Resuelve
Una señora ha pagado sólo 190 soles por una blusa y un pantalón, que entre los dos costaban 230 soles. Se sabe que le han rebajado 1 5 del precio de la blusa y 3 20 del precio original del pantalón. ¿Cuál era el precio original de cada prenda?
Una pastelería realiza dos tipos de torta, la imperial y la de chocolate.la función objetivo viene dada por la expresión:f(x,y)=8x+10y
Sujeto a: I)x+2y=0;y>=0
Se pide graficar, región solución factible y cantidad de cada tipo de torta para obtener el máximo objetivo
el municipio compró tres terrenos con áreas de 160,280 y480 hectáreas respectivamente los cuales se quieren dividir en lotes iguales con la mayor superficie posible para construir distintos proyectos de vivienda ¿ Cuál debe ser el área de estos lotes ?¿ Cuántos lotes salen de cada terreno
Una agencia de transportes tiene 10 sucursales en todo el país, que sumadas a la casa Central da un total de 11. La empresa posee un tipo de pasaje diferente para cada viaje, ya que cualquier pasajero puede trasladarse de cualquiera de las 11 ciudades a otra. ¿Cuántos tipos de pasajes diferentes se necesitarían tener para cubrir todas las posibilidades de compra de cada oficina?